Цикл с линейным участком

Работа за цикл равна площади треугольника 1-2-3 в координатах \(p\)–\(V\). Выразите давление и объём в состоянии 1 через \(\Delta T\). Минимальная температура — в состоянии 1, максимальная — на отрезке 2-3; найдите её, подставив уравнение прямой 2-3 в закон Клапейрона–Менделеева.

Пусть давление и объём газа в состоянии 1 равны \(p_0\) и \(V_0\). Это минимальные значения давления и объёма в цикле, поэтому давление в состоянии 2 равно \(2p_0\), а объём в состоянии 3 равен \(3V_0\). Работа газа за цикл равна площади цикла в координатах «давление–объём»: \[A = p_0 V_0.\] Величины \(p_0\) и \(V_0\) условие не задаёт, поэтому выразим их через максимальное изменение температуры. Минимальная температура — в состоянии 1, так как там минимально произведение \(pV\): \[T_{\min} = \frac{p_0 V_0}{\nu R}.\] Максимальная температура — в одном из состояний на прямой 2-3. Уравнение этой прямой \[p(V) = \frac{5}{2}\,p_0 - \frac{p_0}{2V_0}\,V\] (две точки прямой: \((V_0,\,2p_0)\) и \((3V_0,\,p_0)\)). Подставляя в \(pV = \nu RT\), получаем \[T(V) = \frac{p_0 V}{2\nu R}\left(5 - \frac{V}{V_0}\right).\] Эта квадратичная функция обращается в нуль при \(V = 0\) и \(V = 5V_0\), значит, максимум достигается посередине, при \(V = 5V_0/2\): \[T_{\max} = \frac{25\,p_0 V_0}{8\nu R}.\] Тогда \[\Delta T = T_{\max} - T_{\min} = \frac{25\,p_0V_0}{8\nu R} - \frac{p_0V_0}{\nu R} = \frac{17\,p_0V_0}{8\nu R},\] откуда \[A = p_0 V_0 = \frac{8}{17}\,\nu R\,\Delta T.\]