Однородный шар радиусом \(R\) и массой \(m\) удерживается на наклонной плоскости горизонтальной нитью, прикреплённой к нему в точке \(B\). Найти натяжение нити \(T\) и коэффициент трения \(\mu\) в точке \(A\), если угол наклона плоскости к горизонту равен \(\alpha\).

\(\mu \ge \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\); \(T = mg\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

Шар на наклонной плоскости — МОШ 2018/19, 11 кл., задача 1

Шар на наклонной плоскости
МОШ 2018/19, 11 кл.
4/10
Однородный шар радиусом \(R\) и массой \(m\) удерживается на наклонной плоскости горизонтальной нитью, прикреплённой к нему в точке \(B\). Найти натяжение нити \(T\) и коэффициент трения \(\mu\) в точке \(A\), если угол наклона плоскости к горизонту равен \(\alpha\).

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
На шар действуют три силы в одной плоскости. Что можно сказать о точке пересечения их линий действия? Куда тогда направлена сила реакции опоры?
Ответ
\(\mu \ge \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\); \(T = mg\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).
Решение
Так как шар покоится под действием плоской системы трёх непараллельных сил (сила тяжести, сила реакции со стороны опоры \(R\) и сила реакции со стороны нити \(T\)), следовательно, линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Значит, линия действия силы \(R\) должна пройти через точку пересечения \(T\) и \(mg\), отклоняясь от нормали на угол \(\alpha/2\).

Равновесие шара возможно, если угол \(\alpha_{\text{тр}} \ge \alpha/2\), где \(\alpha_{\text{тр}}\) "— угол трения (максимальный угол, на который может отклониться от нормали вектор силы реакции). Стало быть, \(\mu \ge \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

Величину \(T\) находим из силового треугольника для шара: \[T = mg\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}.\] Возможны решения, основанные на законах Ньютона и уравнении моментов.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Шар на наклонной плоскости

Шар на наклонной плоскости

Похожие задачи