Глобус и бусинка

Внутри равномерно заряженной сферы поле равно нулю (теорема Гаусса), поэтому незаряженная часть сферы и противоположная заряженная часть действуют на бусинку одинаково по величине и противоположно по направлению. Равновесие — в точке, из которой обе заряженные «чашки» видны под одинаковым углом. При малом смещении остаётся нескомпенсированным только кольцо на краю одной из «чашек».

Внутри равномерно заряженной сферической поверхности напряжённость равна нулю (теорема Гаусса). Малый заряженный участок можно считать точечным зарядом; для противоположного участка заряд пропорционален квадрату расстояния от точки до участка, и силы компенсируются. Значит, положение равновесия — в точке \(B\), из которой обе заряженные «чашки» (углы \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) от полюса) видны под одинаковым углом \(\beta\). Из равенства \(h_1 + h_2 = R\sin\alpha_1 + R\sin\alpha_2\) и геометрии: \[\mathrm{ctg}\,\beta = \frac{\sin\alpha_1 + \sin\alpha_2}{\cos\alpha_1 + \cos\alpha_2} = \frac{\sqrt3 + \sqrt2}{\sqrt2 + 1}, \qquad h_2 = R\cos\alpha_2\,\mathrm{ctg}\,\beta = \frac{R(\sqrt3 + \sqrt2)}{2(\sqrt2 + 1)}.\] Малые колебания возможны только при одноимённых зарядах бусинки и глобуса. При сдвиге \(x\) к южному полюсу нескомпенсированным остаётся кольцо шириной \(\Delta l = 2R\Delta\beta\), где \(\Delta\beta = \dfrac{x\sin^2\beta}{R\cos\alpha_1}\). Заряд кольца на единицу длины \(\lambda = \dfrac{2x\sigma\sin^2\beta}{\cos\alpha_1}\). Возвращающая сила вдоль лески получается из кольца радиуса \(R\cos\alpha_2\): \[F(x) = Kx, \qquad K = \frac{4\pi k q\sigma\cos\beta\,\sin^4\beta}{R\cos\alpha_1\cos\alpha_2},\] где \(k\) — постоянная в законе Кулона. Колебания гармонические, с периодом \(T = 2\pi\sqrt{m/K}\), не зависящим от амплитуды.