Две резинки

Половинки резинки \(BC\) и \(BD\) удобно описать через угол \(\beta = \alpha/2\) и геометрию треугольника \(BDO\), где \(O\) — середина \(CD\). Затем спроецируйте силы в узле \(B\) на направление \(AB\).

Пусть резинка \(AB\) растянулась на \(\Delta l\), а каждая половинка второй резинки (\(BC\) и \(BD\)) — на \(\Delta x\). Из треугольника \(BDO\) \[\sin\beta = \frac{l/2}{l/2 + \Delta x} \quad\Rightarrow\quad \Delta x = \frac{l(1 - \sin\beta)}{2\sin\beta}.\] Жёсткость половинки резинки вдвое больше жёсткости целой, т.е. равна \(2k\), и сила в узле \(B\) от каждой половинки равна \(2k\Delta x\). Проецируя силы в узле \(B\) на направление \(AB\) и учитывая равновесие, \[k\,\Delta l = 4k\,\Delta x\cos\beta \quad\Rightarrow\quad \Delta l = 2l(1 - \sin\beta)\,\mathrm{ctg}\,\beta.\] Сдвиг точки \(A\) складывается из \(\Delta l\) и отрезка \(BO = \dfrac{l}{2}\mathrm{ctg}\,\beta\): \[\Delta s = \Delta l + \frac{l}{2}\mathrm{ctg}\,\beta = \frac{l(5 - 4\sin\beta)\,\mathrm{ctg}\,\beta}{2}.\]