Лампочка на поршне

Объём газа пропорционален \(T/p\), а это котангенс угла наклона прямой от начала координат к точке процесса. Найдите крайние положения поршня, затем по формуле тонкой линзы — крайние положения изображения.

По формуле линзы \(\dfrac1a + \dfrac1b = \dfrac1F\), \(b = \dfrac{Fa}{a-F}\). При \(a > F\) изображение действительное и уходит вправо в бесконечность при \(a \to F\); при \(a < F\) оно мнимое и уходит влево. Нужно найти крайние положения лампочки \(a_l\) и \(a_r\).

Из уравнения Клапейрона–Менделеева объём \(V = \nu RT/p\) пропорционален \(T/p\), т.е. котангенсу угла наклона линии от начала координат. Наибольший наклон (наименьший котангенс) — в точке 1 с \(p_1 = p_0\), \(T_1 = T_0 - \Delta T\); наименьший наклон — в точке 2 с \(p_2 = p_0 - \Delta p\), \(T_2 = T_0\), где \(\dfrac{\Delta T}{T_0} = \dfrac{\Delta p}{p_0} = \dfrac1k\). Тогда \[V_1 = V_0\left(1 - \frac1k\right), \qquad V_2 = \frac{V_0}{1 - \frac1k}.\] Сдвиги поршня: \(\Delta L_l = \dfrac{L}{k}\) и \(\Delta L_r = \dfrac{L}{k-1}\), так что \(a_l = F + \dfrac{L}{k}\), \(a_r = F - \dfrac{L}{k-1}\). Подставляя в формулу линзы, \[b_1 = \frac{F\,a_l}{a_l - F} = \frac{F(kF + L)}{L}, \qquad b_2 = \frac{F\,a_r}{a_r - F} = -\frac{F^2(k-1) - FL}{L}.\] Условие \(a_r > 0\), т.е. \(F(k-1) > L\), — лампочка не врезается в линзу.