Газовые законы

Часть 1: масса газа в каждой части не меняется; поршень не сжимается, поэтому давление одинаково с обеих сторон и работа газов на поршне взаимно компенсируется — внутренняя энергия газа сохраняется. Часть 2: при переходе между состояниями используйте уравнение состояния для каждой части и работу поршня против давления разности.

Часть 1. Горизонтальный сосуд.

1.1 При достижении термодинамического равновесия выравниваются давления и температуры газов обеих частях сосуда: \[P_{1a}=P_{1b}=P_1,\qquad T_{1a}=T_{1b}=T_1.\qquad (1)\] Для определения параметров газов запишем уравнения Клапейрона для обеих порций газов \[\frac{P_0V_0}{\dfrac{3}{2}T_0}=\frac{P_1V_{1a}}{T_1};\qquad \frac{P_0V_0}{T_0}=\frac{P_1V_{1b}}{T_1}.\qquad (2)\] Разделим уравнения (2) друг на друга \[\frac{2}{3}=\frac{V_{1a}}{V_{1b}}.\qquad (3)\] Добавим условие постоянства объема \[V_{1a}+V_{1b}=2V_0.\qquad (4)\] Из этих уравнений следует, что объемы газов станут равными \[V_{1a}=\frac{4}{5}V_0;\qquad V_{1b}=\frac{6}{5}V_0.\qquad (5)\] Из уравнений (2) найти значения установившихся давлений и температур нельзя, т.к. в них входят только их отношение. Поэтому следует воспользоваться первым законом термодинамики. Так как давления газов на поршень с разных сторон все время одинаковы, то работа газов по перемещению поршня равны нулю. Система теплоизолирована, поэтому внутренняя энергия газов сохраняется.

Внутреннюю энергию одноатомного газа можно рассчитать по формулам \[U=\frac{3}{2}\nu RT=\frac{3}{2}PV.\qquad (6)\] Здесь использовано уравнение состояния идеального газа \(PV=\nu RT\).

Уравнения закона сохранения энергии в данном случае имеет вид \[\frac{3}{2}P_0V_0+\frac{3}{2}P_0V_0=\frac{3}{2}P_1\cdot 2V_0.\qquad (7)\] из которого следует, что давление газа не изменяется, т.е. \[P_{1a}=P_{1b}=P_0.\qquad (8)\] Теперь установившуюся температуру можно найти из любого из уравнений (2): \[\frac{P_0V_0}{T_0}=\frac{P_1V_{1b}}{T_1}\quad\Rightarrow\quad T_1=T_0\frac{V_{1b}}{V_0}.\qquad (9)\] Используя найденное значение объема, получаем \[T_{1a}=T_{1b}=\frac{6}{5}T_0.\qquad (10)\]

1.2 Т.к. смещением поршня пренебрегаем, то объемы газов остаются неизменными: \[V_{2a}=\frac{4}{5}V_0;\qquad V_{2b}=\frac{6}{5}V_0.\qquad (11)\] Также остаются неизменными параметры газа в части сосуда \(b\): \[P_{2b}=P_0;\qquad T_{2b}=\frac{6}{5}T_0.\qquad (12)\] В процессе нагревания полученная теплота идет на увеличение внутренней энергии газа в части сосуда \(a\): \[\frac{3}{2}P_0V_{1a}+Q=\frac{3}{2}P_{2a}V_{1a}.\qquad (13)\] Подставляем известные значения параметров \[\frac{3}{2}P_0\cdot\frac{4}{5}V_0+\frac{1}{2}P_0V_0=\frac{3}{2}P_{2a}\cdot\frac{4}{5}V_0\qquad (14)\] и находим \[P_{2a}=\frac{17}{12}P_0.\qquad (15)\] Значение температуры газа найдем из уравнения состояния Клапейрона (для состояний 0 и 2): \[\frac{P_0V_0}{\dfrac{3}{2}T_0}=\frac{P_{2a}V_{2a}}{T_{2a}}\quad\Rightarrow\quad\frac{2P_0V_0}{3T_0}=\frac{17}{12}P_0\cdot\frac{4}{5}V_0\cdot\frac{1}{T_{2a}},\qquad (16)\] из которого следует, что температура газа станет равной \[T_{2a}=\frac{17}{10}T_0.\qquad (17)\]

1.3 После установления равновесия температуры и давления газов в разных частях сосуда станут равными \[P_{3a}=P_{3b}=P_3,\qquad T_{3a}=T_{3b}=T_3.\qquad (18)\] Для упрощения расчетов рассмотрим переход из состояния 0 в конечное состояние 3 (без промежуточных этапов). Первый закон термодинамики приводит к уравнению \[\frac{3}{2}P_0\cdot 2V_0+Q=\frac{3}{2}P_3\cdot 2V_0,\qquad (19)\] из которого сразу следует, что давление газа будет равно \[P_{3a}=P_{3b}=\frac{7}{6}P_0.\qquad (20)\] Запишем уравнения состояния для обеих порций газов: \[\frac{P_0V_0}{\dfrac{3}{2}T_0}=\frac{P_3V_{3a}}{T_3};\qquad \frac{P_0V_0}{T_0}=\frac{P_3V_{3b}}{T_3}.\qquad (21)\] Сложим эти два уравнения: \[\frac{5}{3}\frac{P_0V_0}{T_0}=\frac{P_3\cdot 2V_0}{T_3}.\qquad (22)\] и найдем значение конечной температуры: \[T_3=\frac{6}{5}T_0\cdot\frac{P_3}{P_0}=\frac{7}{5}T_0.\qquad (23)\] Таким образом: \[T_{3a}=T_{3b}=\frac{7}{5}T_0.\qquad (24)\] Наконец, значения объема можно выразить из уравнений (21). Если разделить их друг на друга, получим \[\frac{V_{3a}}{V_{3b}}=\frac{2}{3}.\qquad (25)\] Вспоминая, что \(V_{1a}+V_{1b}=2V_0\), находим \[V_{3a}=\frac{4}{5}V_0;\qquad V_{3b}=\frac{6}{5}V_0.\qquad (26)\] Все найденные значения параметров сведены в Таблице 1 официального решения (см. выше).

Часть 2. Вертикальный сосуд.

2. При решении данной задачи нет необходимости рассматривать все этапы процесса, можно сразу рассматривать переход от начального к конечному состоянию. Зная отношение объемов и их сумму, легко найти объемы каждой части сосуда.

В начальном состоянии: объем нижней части \(V_{0a}=\dfrac{1}{2}V_0\); объем верхней части \(V_{0b}=\dfrac{3}{2}V_0\). Если давление газа в верхней части сосуда равно \(P_0\), то давление в нижней части равно \(P_0+\Delta P\), где \(\Delta P\) – давление, которое создает поршень.

В конечном состоянии: объем нижней части \(V_{1a}=\dfrac{2}{3}V_0\); объем верхней части \(V_{1b}=\dfrac{4}{3}V_0\).

Обозначим давление газа в верхней части сосуда \(P_1\), тогда давление в нижней части – \(P_1+\Delta P\).

Запишем уравнение первого закона термодинамики: \[Q=\Delta U+A.\qquad (27)\] При вертикальном положении сосуда газ совершает работу по подъему поршня, которая равна \[A=\Delta P\left(\frac{2}{3}V_0-\frac{1}{2}V_0\right)=\frac{1}{6}\Delta PV_0.\qquad (28)\] Эта величина также равна изменению потенциальной энергии поршня в поле тяжести Земли. Выразим изменение внутренней энергии газа через значения давлений и объемов: \[\Delta U=\frac{3}{2}\left[\left(P_1\cdot\frac{4}{3}V_0+\left(P_1+\Delta P\right)\cdot\frac{2}{3}V_0\right)-\left(P_0\cdot\frac{3}{2}V_0+\left(P_0+\Delta P\right)\cdot\frac{1}{2}V_0\right)\right]=\frac{3}{2}(P_1-P_0)V_0+\frac{1}{4}\Delta PV_0.\qquad (29)\] Далее необходимо найти значения \(\Delta P\) и \(P_1\). Для этого воспользуемся равенством масс газов в обеих частях сосудов. Для начального состояния можно записать \[\frac{3}{2}P_0V_0=\frac{1}{2}\left(P_0+\Delta P\right)V_0.\qquad (30)\] Отсюда следует \[\Delta P=2P_0.\qquad (31)\] Для конечного: \[\frac{4}{3}P_1V_0=\frac{2}{3}\left(P_1+\Delta P\right)V_0,\] что дает \[P_1=2P_0.\qquad (32)\] Подставляя полученные значения в формулу (29), получим \[\Delta U=\frac{3}{2}\left(P_1-P_0\right)V_0+\frac{1}{4}\Delta PV_0=2P_0V_0.\qquad (33)\] Теперь можно вычислить количество сообщенной газу теплоты \[Q=\Delta U+A=2P_0V_0+\frac{1}{6}\cdot 2P_0V_0=\frac{7}{3}P_0V_0.\qquad (34)\]