Трение нити

Нить, перекинутая дугой по цилиндру, имеет натяжение, растущее по экспоненте с углом охвата; измерьте натяжение при разных углах и найдите коэффициент трения из наклона графика логарифма натяжения.

Сначала найдём разность сил натяжения \(T\) на двух концах скользящей нити, перекинутой дугой на угол \(\alpha\) по цилиндру. Рассмотрим короткий кусок дуги, стягивающий угол \(d\alpha\). С одной стороны, \(dT=\mu\,dR\) — сила трения, действующая на этот кусок, где \(dR\) — сила реакции. С другой стороны, \(dR\approx T\,d\alpha\), так как оба конца куска тянут с силами, радиальная составляющая каждой из которых равна \(T\,\dfrac{d\alpha}{2}\) (где \(\alpha\) измеряется в радианах). Поэтому получаем дифференциальное уравнение \(dT=\mu T\,d\alpha\), или \(d\ln T=\mu\,d\alpha\), откуда \(T=T_0e^{\mu\alpha}\).

В качестве решения задачи можно измерить изменение силы натяжения при разных углах \(\alpha\) (например, \(\dfrac\pi2\), \(\pi\), \(\dfrac{3\pi}2\), \(2\pi\), \(\dfrac{5\pi}2\) и т. д. для нескольких витков; однако расположение нитей вертикально даёт лучшую точность) и построить график \(\ln T\) в зависимости от \(\alpha\). Наклон графика и есть искомый \(\mu\).

Дополнительное решение (менее точное). Те, кто не может вывести нужную формулу, всё же могут выполнить эксперимент, делая те же измерения и замечая по графику, что зависимость между \(\alpha\) и \(T\) выглядит экспоненциальной. Тогда можно сделать предположение \(T=T_0X^{\mu\alpha}\): так как \(\alpha=0\) должно соответствовать \(T=T_0\), нельзя разумно записать \(\mu\) где-либо ещё, не усложняя формулу сверх меры. Теперь можно заново измерить данный карандаш (его можно достаточно хорошо приблизить цилиндром; существуют и более точные подходы) и заключить, что \(X\approx2{,}7\). Дальше расчёт тот же.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.