Полукуб с выемкой

Горизонтальный импульс системы «тело + половина» равен нулю, а механическая энергия сохраняется. Масса половины равна четверти массы целого куба за вычетом выемки.

Пусть масса левой и правой части равна \(M\), скорость тела \(m\) в нижней точке траектории — \(U\), скорость левой части в этот момент — \(V\). Законы сохранения энергии и импульса: \[mgH=\frac{mU^2}{2}+\frac{MV^2}{2}, \qquad (1)\qquad MV=mU. \qquad (2)\] Пусть скорость тела \(m\) в верхней точке траектории — \(U_1\), скорость правой части в этот момент — тоже \(U_1\). Законы сохранения энергии и импульса: \[\frac{mU^2}{2}=\frac{(m+M)U_1^2}{2}+mgh, \qquad (3)\qquad mU=(m+M)U_1. \qquad (4)\] Выразив \(V\) из (2) и подставив в (1), находим \(U^2=\dfrac{2Mg H}{m+M}\). Из (4) \(U_1=\dfrac{m}{m+M}U\). Подставляя в (3), получаем \[h=\frac{M^2}{(m+M)^2}\,H. \qquad (5)\] Найдём массу \(M\): это масса целого куба минус масса шара диаметра \(a\), делённая на четыре: \[M=\frac{\rho a^3-\rho\cdot\frac{\pi a^3}{6}}{4}=\frac{\rho a^3(6-\pi)}{24}.\] Подставив \(M\) в (5), получаем \[h=\frac{H\,\rho^2a^6(6-\pi)^2}{\left(24m+\rho a^3(6-\pi)\right)^2}.\]