Скрытый заряд

Сила центральная, а пучок параллелен оси \(z\), поэтому электрон летит в плоскости, содержащей пучок и заряд, и попадает на экран на луче, идущем от \((x_Q,y_Q)\) через \((x_i,y_i)\). Три таких луча пересекаются в точке \((x_Q,y_Q)\). Затем фиксируйте угол рассеяния (произведение \(bE\) постоянно) и стройте график \(b(d)\): наклон даёт \(\cos\theta\), отрезок — \(z\sin\theta\).

Ответ организаторов: \(x_Q=5{,}4\) см, \(y_Q=-2{,}6\) см, \(|z_Q|=11{,}5\) см, \(Q=-86\) пКл (знак минус), \(|z_Q|\,|Q|=9{,}9\) пКл\(\cdot\)м. Точность, которую организаторы считают полной (полный балл): \(x_Q\) — \(5{,}3\)–\(5{,}5\) см, \(y_Q\) — от \(-2{,}5\) до \(-2{,}7\) см, \(|z_Q|\) — \(11\)–\(12\) см, \(|Q|\) — \(70\)–\(100\) пКл, \(|z_QQ|\) — \(9{,}7\)–\(10{,}1\) пКл\(\cdot\)м.

Данных самого опыта (результатов работы программы) в источнике нет, поэтому разбор состоит из метода, формул и расчётного примера. Все таблицы и графики ниже — модельные данные для иллюстрации метода, а не измерения: пример смоделирован нами по точным формулам рассеяния с параметрами из ответа организаторов (\(x_Q=5{,}4\) см, \(y_Q=-2{,}6\) см, \(z_Q=-11{,}5\) см, \(Q=-86\) пКл), случайным смещением пучка \(0{,}5\) мм и округлением попаданий до \(1\) мм; это иллюстрация того, что получит ученик, а не результат опыта.

Что происходит. Электроны и скрытый заряд — одного знака, то есть отталкиваются; сила центральная, пучок параллелен оси \(z\). Поэтому электрон остаётся в плоскости, проходящей через линию пучка и заряд, и отклоняется в ней от заряда. На экране (плоскость \(z=0\)) след электрона лежит на луче, идущем от проекции заряда \((x_Q,y_Q)\) через точку запуска \((x_i,y_i)\) — по нему находим положение заряда. Потом по рассеянию Резерфорда находим расстояние до экрана и величину заряда.

Рис. 2. Схема опыта: пучок электронов идёт параллельно оси \(z\), заряд \(Q\) находится перед экраном \(z=0\); на экране попадание лежит на луче от проекции заряда через точку запуска.

Обозначения. \((x_i,y_i)\) — точка запуска, \((x_f,y_f)\) — попадание на экран, \(E=eV\) — энергия электрона при ускоряющем напряжении \(V\), \(b\) — расстояние от точки запуска до проекции заряда на плоскость \(xy\) (прицельный параметр), \(d\) — расстояние от проекции заряда до точки попадания на экране, \(z=|z_Q|\) — расстояние от заряда до экрана, \(\theta\) — угол рассеяния.

Часть 1. Положение \(x_Q\), \(y_Q\).

Берём фиксированную точку запуска и меняем напряжение \(V\): попадания ложатся на луч, исходящий из \((x_Q,y_Q)\). Чем меньше \(V\), тем сильнее отклонение и тем дальше попадание от точки запуска, поэтому берём \(V\) от нескольких вольт, пока попадания внутри экрана. Выбираем три точки запуска, не лежащие на одной прямой с зарядом: \((0,0)\), \((0,10)\), \((0,-10)\) см. Прямые, проведённые через попадания, должны пересечься в одной точке, и это \((x_Q,y_Q)\).

Модельные данные для иллюстрации метода, не измерения (попадания \(x_f\), \(y_f\) в см; \(V\) в В; точки запуска указаны в заголовке):

Рис. 3. Плоскость экрана (модельные данные для иллюстрации метода): попадания при трёх точках запуска (квадратики) и прямые через них; пересечение — положение заряда.

Прямые проводим методом наименьших квадратов (по направлению наибольшего разброса точек) и находим точку, минимизирующую сумму квадратов расстояний до трёх прямых; на модельных данных \[x_Q=5{,}5~\text{см},\qquad y_Q=-2{,}6~\text{см}\] (у организаторов \(5{,}4\) и \(-2{,}6\) см). Погрешность оценивали повторной выборкой точек (бутстреп): \(\pm0{,}2\) см по \(x\) и \(\pm0{,}15\) см по \(y\); три пары прямых дают пересечения в диапазоне \(5{,}2\)–\(5{,}8\) по \(x\) и \(-2{,}9\ldots-2{,}3\) по \(y\), то есть разброс такого же порядка. Третья точка запуска нужна именно для этого: две прямые всегда пересекаются, а три — подтверждают пересечение. Метод по совпадению \(y_f\approx y_i\) при варьировании только \(y_i\) (вторая схема организаторов) даёт точность в разы хуже, поэтому не используем.

Знак заряда: электрон отклоняется от заряда (точка попадания дальше от \((x_Q,y_Q)\), чем точка запуска), значит заряд отталкивает электрон: \(Q<0\).

Часть 2. Расстояние \(z\) и величина \(Q\).

Идея. Угол рассеяния \(\theta\) определяется формулой Резерфорда: \(\tan(\theta/2)=kqQ/(2Eb)\), где \(kqQ>0\) (оба заряда отрицательны). Если держать произведение \(bE\) постоянным, то \(\theta\) одинаков для всех измерений, а попадания лежат на прямой, параллельной конечной асимптоте. Тогда зависимость \(b\) от \(d\) линейна, и по ней находим \(\theta\) и \(z\).

Рис. 4. Геометрия: траектория, асимптоты, расстояние \(z\) от заряда до экрана, размеры \(b\), \(d\) и \(\delta\).

Связь \(d\) и \(b\). Конечная асимптота траектории — прямая, направленная под углом \(\theta\) к оси \(z\) и проходящая от заряда на расстоянии \(b\) (момент импульса сохраняется, поэтому прицельный параметр одинаков до и после рассеяния). Прямая через \(Q\) параллельно асимптоте попала бы на экран на высоте \(z\tan\theta\) над \(Q\). Асимптота смещена от неё на \(b\) по перпендикуляру, то есть на \(b/\cos\theta\) по вертикали: \[d=z\tan\theta+\frac{b}{\cos\theta}\quad\Longrightarrow\quad d\cos\theta=z\sin\theta+b .\] Это верно, когда электрон на экране уже вышел на асимптоту; при конечных \(b\) измеренное \(d\) немного больше.

Эта формула отличается от формулы организаторов для величины \(\delta\) (расстояние от попадания до прямой, на которой лежал бы пучок без рассеяния): \(\delta=d-b\), откуда \(\delta/\tan\theta=z+b\tan(\theta/2)\) (так следует из геометрии, и численный расчёт орбиты подтверждает), а не \(z+b/\tan(\theta/2)\), как написано в решении организаторов; поэтому пользуемся величиной \(d\).

Метод 1. Выбираем \(\tan(\theta/2)=0{,}5\). Из формулы Резерфорда \(bE=kqQ/(2\tan(\theta/2))=\) const; по грубой оценке \(|Q|\sim10^{-10}\) Кл это даёт \(Vb\approx0{,}77\) В\(\cdot\)м. Берём прицельные параметры \(b=1\)–\(6\) см и подбираем \(V=0{,}77/b\) (для \(b=1\) см — \(77\) В, для \(6\) см — \(13\) В). Для каждого запускаем пучок в точку на расстоянии \(b\) от найденной проекции заряда (по диагонали, чтобы попадания оставались на экране) и измеряем \(d\) как расстояние от проекции заряда до попадания (модельные данные для иллюстрации метода, не измерения):

Строим \(b\) от \(d\) (рис. 5) и проводим прямую: наклон равен \(\cos\theta\), отрезок на оси \(b\) равен \(-z\sin\theta\). На модельных данных наклон \(0{,}564\), отрезок \(-8{,}57\) см: \[\theta=\arccos0{,}564=55{,}7^\circ,\qquad z=\frac{8{,}57}{\sin55{,}7^\circ}=10{,}4~\text{см}.\]

Рис. 5. Метод 1 на модельных данных для иллюстрации метода: зависимость \(b\) от \(d\) при постоянном \(\theta\); пунктир — точная асимптотическая зависимость (для заложенных \(\theta=53{,}1^\circ\), \(z=11{,}5\) см).

Величина заряда. Из формулы Резерфорда \[|Q|=\frac{2E\,b\,\tan(\theta/2)}{k|q|}=\frac{2Vb\tan(\theta/2)}{k}.\] Для каждой строки таблицы с \(\theta=55{,}7^\circ\) получаем \(|Q|=90{,}7\)–\(91{,}0\) пКл (среднее \(91\) пКл): \[Q\approx-91~\text{пКл},\qquad z_Q\approx-10~\text{см}\quad(\text{электроны летят из }z<0,\ \text{заряд перед экраном}),\] произведение \(|z_Q|\,|Q|\approx9{,}4\) пКл\(\cdot\)м. Это числа модельного примера; организаторы по своей программе дают \(|z_Q|=11{,}5\) см и \(Q=-86\) пКл — в пределах погрешностей метода, оценённых ниже.

Погрешности. Случайные: гауссов разброс начального положения пучка (\(0{,}5\) мм) и округление попаданий до \(1\) мм. Особенно сильно они действуют на малые \(b\): при \(b=1\) см смещение \(0{,}5\) мм — это \(5\,\%\). Систематические: (1) на экране электрон не вышел на асимптоту, и \(d\) чуть больше, чем в формуле (поэтому в примере \(\theta\) выходит на \(2{,}6^\circ\) больше, а \(z\) на \(1\) см меньше заложенного); (2) неточность положения \((x_Q,y_Q)\) (\(1\)–\(2\) мм) входит в \(b\) и \(d\). Моделирование методом Монте-Карло (400 повторений опыта с учётом этих погрешностей) даёт для \(Q\) разброс \(\pm15\) пКл, а для \(z\) медиану \(9{,}6\) см при диапазоне \(6{,}8\)–\(14{,}6\) см (16 %–84 %): расстояние \(z\) определяется хуже всего, так как находится из отрезка. Значит, разумная оценка погрешностей самого метода: \(\pm4\) см по \(|z_Q|\) и \(\pm15\) пКл по \(Q\); значения организаторов (\(11{,}5\) см, \(-86\) пКл) лежат внутри этих пределов от модельных.

Другие способы. Фиксируем малое \(b\) и меняем \(E\): из формулы для \(\tan\theta\) с \(\gamma=2b/(kqQ)\) получаем \(\tan\theta=2\gamma E/(\gamma^2E^2-1)\), при \(\tan\theta\approx d/z\) график \(2E/d\) от \(E^2\) — прямая с наклоном \(\gamma/z\) и отрезком \(-1/(z\gamma)\); на практике отрезок очень чувствителен к ошибке \(b\) и к поправке \(b\tan(\theta/2)\), на модельных данных он выходит с неверным знаком, и остаётся только произведение \(zQ\). Для малых углов \(\tan(\theta/2)\approx\delta/(2z)\) и \(\delta\approx kqQz/(Eb)\): график \(\delta\) от \(1/E\) при постоянном \(b\) даёт произведение \(zQ\), но не каждый множитель отдельно.

Проверка. Размерность: \([Vb/k]=\text{В}\cdot\text{м}/(\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2)=\text{Кл}\) (так как \(\text{В}=\text{Н}\cdot\text{м}/\text{Кл}\)): сходится. Предел: \(b\to\infty\) или \(E\to\infty\) — \(\theta\to0\), \(d\to b\), попадание совпадает с точкой запуска. Порядок величины: \(Q\approx-90\) пКл при расстоянии \(z\sim10\) см даёт потенциальную энергию электрона на расстоянии \(r=5\) см \(k|q|Q/r\approx 2{,}6\cdot10^{-18}\) Дж \(\approx16\) эВ, то есть энергии порядка \(10\)–\(100\) эВ (\(V=10\)–\(100\) В) дают заметное рассеяние, как и в модельном примере. Знак: отклонение от заряда — одноимённые заряды отталкиваются.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.