Чёрный ящик

В покое сила \(F\) уравновешивает вес всего ящика. Сразу в момент включения ускорения \(a\) грузы ещё не сдвинулись, и добавка к силе равна \(m_1a\). Короткий импульс вверх и вниз даёт жёсткость \(k_1\), а частоты малых колебаний двух грузов — остальные два параметра.

Значения, заложенные в программу (ответ организаторов): \(m_1=0{,}857\) кг, \(m_2=0{,}236\) кг, \(m_3=0{,}413\) кг, \(k_1=39{,}2\) Н/м, \(k_2=22{,}6\) Н/м; полный балл — при точности \(\pm0{,}002\) кг для \(m_1\), \(\pm1{,}0\) Н/м для \(k_1\), \(\pm0{,}010\) кг для \(m_2\) и \(m_3\), \(\pm0{,}5\) Н/м для \(k_2\). По своим измерениям в программе организаторы получают \(m_1+m_2+m_3=1{,}506\) кг, \(m_1=0{,}857\) кг, \(k_1\approx39{,}7\) Н/м, \(m_2\approx0{,}238\) кг, \(m_3\approx0{,}411\) кг, \(k_2\approx22{,}4\) Н/м.

Числа, по которым ниже находятся ответы (\(F_0\), \(F_{30}\), \(F_u\), \(F_d\), периоды \(T_1\), \(T_2\)), — результаты опытов организаторов в их программе. Графики \(F(t)\) на рис. 3, 4, 6, 7 — модельные данные для иллюстрации метода, а не измерения: они получены нами численным решением уравнений движения с параметрами, названными организаторами как точные (\(m_1=0{,}857\), \(m_2=0{,}236\), \(m_3=0{,}413\) кг, \(k_1=39{,}2\), \(k_2=22{,}6\) Н/м), с нелинейными пружинами \(F_i=a_iu+b_iu^3\), подобранными так, чтобы удлинения в покое (\(0{,}179\) и \(0{,}208\) м, их приводят организаторы) и касательные жёсткости \(k_1\), \(k_2\) в этой точке совпали с заданными, и с небольшим вязким трением. Случайной ошибки измерения в модели нет; в программе организаторов она есть и усредняется по нескольким отсчётам, как описано ниже.

Что происходит. Сила \(F\) на ящик — единственное, что мы измеряем. Она складывается из инерции и веса ящика и силы пружины \(k_1\) на его потолок; всё, что происходит с грузами внутри, попадает в \(F\) только через эту пружину. Поэтому: в покое \(F\) даёт полную массу; сразу после начала ускорения грузы ещё на месте, и скачок \(F\) даёт \(m_1\); короткий импульс успевает растянуть только пружину \(k_1\) и даёт \(k_1\); колебания грузов видны в \(F\) как два периодических сигнала, по их частотам находим остальное.

Обозначения. \(y_1\) — высота потолка ящика, \(y_2\), \(y_3\) — высоты грузов, \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) — их ускорения, \(F_1\), \(F_2\) — силы натяжения пружин (вверх на груз ниже по цепочке), ось \(y\) вверх. Пружины нелинейны, поэтому \(F_1\neq k_1(y_1-y_2)\) вообще говоря; но при малых приращениях около положения равновесия \(\Delta F_1=k_1\Delta(y_1-y_2)\) и \(\Delta F_2=k_2\Delta(y_2-y_3)\).

Рис. 2. Силы на каждое тело: на ящик \(m_1\) действуют сила \(F\), вес и натяжение \(F_1\) пружины; на груз \(m_2\) — \(F_1\) вверх, \(F_2\) и вес вниз; на груз \(m_3\) — \(F_2\) вверх и вес вниз.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на ось \(y\) (трением пока пренебрегаем): \[m_1a_1=F-F_1-m_1g,\qquad m_2a_2=F_1-F_2-m_2g,\qquad m_3a_3=F_2-m_3g .\]

Часть 1. Сумма масс.

В покое \(a_1=a_2=a_3=0\). Сложим три уравнения: \(F_0=(m_1+m_2+m_3)g\). Ящик в начале уже в равновесии — сила постоянна; усредняем первые десять отсчётов (данные организаторов): \[F_0=14{,}774~\text{Н}\ \Longrightarrow\ m_1+m_2+m_3=\frac{F_0}{g}=\frac{14{,}774~\text{Н}}{9{,}81~\text{м/с}^2}=1{,}506~\text{кг}.\]

Часть 2. Масса ящика \(m_1\).

Из первого уравнения \(F=m_1(a_1+g)+F_1\). Сила пружины \(F_1\) зависит только от положения грузов, а в начале любого опыта они стоят одинаково; значит, в первый момент \(F\) зависит только от \(a_1\): \[F(0;\,a_1)-F_0=m_1a_1 .\] Берём наибольшее ускорение (\(a_1=30\) м/с\(^2\)) для точности; у организаторов первый отсчёт при \(a_1=30\) (среднее трёх запусков) \(F_{30}=40{,}487\) Н: \[m_1=\frac{F_{30}-F_0}{a_1}=\frac{40{,}487-14{,}774}{30}~\text{кг}=0{,}857~\text{кг},\qquad m_2+m_3=1{,}506-0{,}857=0{,}649~\text{кг}.\]

Рис. 3. Модельные данные для иллюстрации метода (не измерения). Программа «0,05 с при \(a=0\), затем \(a=30\) м/с\(^2\)»: сила в покое \(F_0\) и скачок на \(m_1\cdot30\) Н при включении ускорения; дальше сила растёт, так как пружина растягивается.

Обратите внимание: сравнивать нужно силу в первый момент, пока грузы не сдвинулись; дальше \(F\) меняется, потому что пружина \(k_1\) растягивается и сила её меняется.

Часть 3. Жёсткость \(k_1\).

Идея. Подадим на ящик очень короткий импульс: ускорение \(a_1\) в течение времени \(t\), затем \(-a_1\) в течение \(t\). Потолок ящика сместится на \(\Delta y_1=a_1t^2\) и остановится, а груз \(m_2\) за такое короткое время почти не сдвинется (его ускорение \(a_2\lesssim k_1a_1t^2/m_2\), смещение \(\sim a_2t^2/2\) мало по сравнению с \(\Delta y_1\), пока \(2t\sqrt{k_1/m_2}\ll1\); при \(t=0{,}01\) с это число равно \(0{,}26\)). Значит, растяжение пружины \(k_1\) изменилось на \(\Delta y_1\), и после импульса \[\Delta F\approx k_1\Delta y_1=k_1a_1t^2 .\] Чтобы убрать влияние вязкого трения и повысить точность, сравниваем два опыта — импульсы вверх–вниз (\(a_1=+30\)) и вниз–вверх (\(a_1=-30\)) с \(t=0{,}01\) с (наименьшее возможное): разность сил после импульсов \(F_u-F_d=2k_1a_1t^2\). Каждый опыт повторяем несколько раз и усредняем.

Рис. 4. Сила сразу после короткого импульса: \(F_u\) — после движения вверх–вниз, \(F_d\) — вниз–вверх (модельные данные для иллюстрации метода, не измерения).

Организаторы (по пять повторов каждого опыта) получили \(F_u=14{,}890\) Н, \(F_d=14{,}652\) Н: \[k_1\approx\frac{F_u-F_d}{2a_1t^2}=\frac{(14{,}890-14{,}652)~\text{Н}}{2\cdot30~\text{м/с}^2\cdot(0{,}01~\text{с})^2}\approx39{,}7~\text{Н/м}.\] Заложенное значение — \(39{,}2\) Н/м; расхождение около \(1\,\%\) — это точность разности \(F_u-F_d=0{,}24\) Н, известной до нескольких тысячных ньютона, плюс малое смещение груза \(m_2\) за время \(2t\) (в нашей модели без шума оно одно даёт \(k_1\approx38{,}8\) Н/м). При ускорении \(30\) м/с\(^2\) дольше \(0{,}02\) с вязкое трение ящика (\(\sim0{,}08\) Н) уже искажает разность, поэтому длительность делают наименьшей.

Часть 4. Массы \(m_2\), \(m_3\) и жёсткость \(k_2\).

Идея. Две неизвестные массы и жёсткость \(k_2\) находим по двум частотам малых колебаний грузов при неподвижном ящике: при известных \(k_1\) и \(m_2+m_3\) они определяют три величины.

При малых смещениях \(x_2\), \(x_3\) около равновесия: \[m_2\ddot x_2=-k_1x_2-k_2(x_2-x_3),\qquad m_3\ddot x_3=k_2(x_2-x_3).\] Ищем решение в виде \(x_2=A\cos\omega t\), \(x_3=B\cos\omega t\): \[(k_1+k_2-m_2\omega^2)A=k_2B,\qquad (k_2-m_3\omega^2)B=k_2A .\] Равенство нулю определителя этой системы даёт биквадратное уравнение \[\omega^4-\left(\frac{k_2}{m_3}+\frac{k_1+k_2}{m_2}\right)\omega^2+\frac{k_1k_2}{m_2m_3}=0 .\] Его корни \(\omega_1^2<\omega_2^2\) — квадраты частот двух мод. По теореме Виета \[c_1=\omega_1^2+\omega_2^2=\frac{k_2}{m_3}+\frac{k_1+k_2}{m_2},\qquad c_2=\omega_1^2\omega_2^2=\frac{k_1k_2}{m_2m_3}.\] Исключаем \(k_2\) и \(m_3\) с помощью \(m_2+m_3=M\) (известна из части 2): сначала \(\dfrac{c_1}{c_2}=\dfrac{m_2}{k_1}+\dfrac{m_3}{k_2}+\dfrac{m_3}{k_1}\), откуда \(\dfrac{m_3}{k_2}=\dfrac{c_1}{c_2}-\dfrac{M}{k_1}\); подставляем в \(\dfrac{m_3}{k_2}=\dfrac{k_1}{m_2c_2}\): \[m_2=\frac{k_1^2}{c_1k_1-c_2M},\qquad m_3=M-m_2,\qquad k_2=\frac{c_2\,m_2m_3}{k_1}.\]

Рис. 5. Две нормальные моды: в медленной грузы смещаются в одну сторону (амплитуда нижнего больше в \(A_3/A_2=k_2/(k_2-m_3\omega_1^2)\approx2{,}4\) раза), в быстрой — в противофазе.

Как измерять частоты. Для возбуждения колебаний подаём на ящик импульс (например, \(a=1{,}5\) м/с\(^2\) на \(0{,}2\) с вверх и столько же вниз), после чего ящик не движется, и записываем \(F(t)\) с шагом \(0{,}02\) с (\texttt{sample 0.02}) в течение нескольких десятков секунд; амплитуду колебаний берём небольшой, чтобы пружины оставались линейными. Сигнал содержит две частоты. Период медленной моды находим по расстоянию между максимумами (многих периодов), быструю — по спектру или по короткому импульсу, который возбуждает её сильнее.

Рис. 6. Сила после импульса: колебания двух мод, наложенные друг на друга (модельные данные для иллюстрации метода, не измерения; трение мало).

Рис. 7. Спектр модельного сигнала \(F(t)\) после импульса (иллюстрация метода, не измерения): два пика — частоты мод.

Организаторы нашли периоды по моментам максимумов силы: 13 медленных периодов от \(20{,}27\) до \(34{,}70\) с и 27 быстрых от \(9{,}94\) до \(20{,}00\) с, то есть \(T_1=14{,}43/13\approx1{,}11\) с, \(T_2=10{,}06/27\approx0{,}373\) с (на модельных данных спектр даёт \(1{,}112\) и \(0{,}372\) с). Тогда \[\omega_1^2=\left(\frac{2\pi}{T_1}\right)^2=32{,}04~\text{с}^{-2},\qquad \omega_2^2=\left(\frac{2\pi}{T_2}\right)^2=283{,}8~\text{с}^{-2},\] \[c_1=315{,}8~\text{с}^{-2},\qquad c_2=9093~\text{с}^{-4}.\] При \(k_1=39{,}7\) Н/м и \(M=0{,}649\) кг: \[m_2=\frac{39{,}7^2}{315{,}8\cdot39{,}7-9093\cdot0{,}649}~\text{кг}=\frac{1576}{12537-5901}~\text{кг}\approx0{,}238~\text{кг},\qquad m_3=0{,}649-0{,}238=0{,}411~\text{кг},\] \[k_2=\frac{9093\cdot0{,}238\cdot0{,}411}{39{,}7}~\text{Н/м}\approx22{,}4~\text{Н/м}.\] Заложенные в программу значения — \(0{,}236\) кг, \(0{,}413\) кг и \(22{,}6\) Н/м: отличие около \(1\,\%\) идёт от \(k_1\).

Обратите внимание: в решении организаторов квадрат частоты \(\omega_2^2\) записан через \(T_1\) — это опечатка (нужно \(T_2\)); использованное ими значение \(c_2=9093\) с\(^{-4}\) соответствует правильной формуле.

Другие способы. Для \(k_1\) можно взять непрерывное ускорение \(a_1=5\) м/с\(^2\) в течение \(0{,}02\) с: \(k_1\approx2\Delta F/(a_1t^2)\) (при \(a_1=30\) вязкое трение ящика искажает результат на треть). Грубо \(k_1\) и \(k_2/m_3\) оцениваются по времени столкновения грузов с ящиком при быстром движении вниз или вверх: \(y_1-y_2\approx a_1t^2/2\), затем \(k_1\approx(m_2+m_3)g/(y_1-y_2)\); это даёт значения на десятки процентов ниже из-за нелинейности пружин.

Проверка. Размерность: \([\omega^2]=\text{с}^{-2}\), \([k/m]=\text{Н}/(\text{м}\cdot\text{кг})=\text{с}^{-2}\). Предел: если \(k_2\to\infty\) (грузы скреплены), \(\omega_1^2\to k_1/(m_2+m_3)=39{,}7/0{,}649=61{,}2\) с\(^{-2}\), что больше измеренного \(32{,}0\), а \(\omega_2\to\infty\); для мягкой связи \(k_2=22{,}4\) Н/м низшая частота ниже — согласуется. Проверка прямой подстановкой: \(c_1=k_2/m_3+(k_1+k_2)/m_2=54{,}5+260{,}9=315{,}4\) с\(^{-2}\) и \(c_2=k_1k_2/(m_2m_3)=9091\) с\(^{-4}\) — совпало с исходными. Равновесие: \(F_1=(m_2+m_3)g=6{,}37\) Н при удлинении \(0{,}179\) м даёт среднюю жёсткость \(35{,}6\) Н/м, чуть ниже касательной \(k_1\), поскольку пружина жёстче при большем растяжении.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.