Задачи › Сила Архимеда

Лёд и тело в масле

  1. Лёд и тело в масле

    СПбГУ 2022/23, 8 кл.
    7/10

    На дно пустого цилиндрического сосуда поместили конструкцию из лёгкого тела, скреплённого двумя невесомыми упругими пружинками с бруском водяного льда. Затем в сосуд наливают масло так, что оно полностью покрывает лёд (см. рисунок) и может просачиваться между телом и дном сосуда. Плотности соотносятся между собой как \(\rho_T<\rho_M<\rho_Л\).

    В начальный момент времени система находится при температуре \(0^{\circ}\).

    1. Найдите плотности \(\rho_T\) и \(\rho_M\), если известны объёмы тела \(V_T=0{,}0012\) м\(^3\), льда \(V_Л=0{,}01\) м\(^3\) и масла \(V_M=0{,}02\) м\(^3\); плотность льда \(\rho_Л=900\) кг/м\(^3\); отношение толщины слоя масла в начальном состоянии к толщине слоя масла после того, как лёд полностью растаял, \(H/H'=1{,}5\). Кроме того, известно, что в начальный момент времени тело давит на дно сосуда с силой \(P=5\) Н.

    2. Найдите, как изменится давление сосуда на стол в точке \(A\) после того, как лёд полностью растает.

    Считать, что в конечном состоянии все жидкости в системе разделяются на несмешивающиеся однородные слои.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Пружины связывают тело и лёд: в начальном состоянии их силы уравновешивают давление масла и опору. После таяния тело всплывает и плавает на масле, а изменение уровня масла даёт соотношение между плотностями.

    Ответ

    1) \(\rho_M\approx 817\) кг/м\(^3\), \(\rho_T\approx 545\) кг/м\(^3\);  2) давление в точке \(A\) не изменится.

    Решение

    1. В начальном состоянии (пружинки растянуты на \(\Delta x\), \(k\) — жёсткость каждой): \[\rho_TV_Tg+2k\Delta x-\rho_MV_Tg=P,\qquad \rho_ЛV_Лg-2k\Delta x-\rho_MV_Лg=0.\] Сложив уравнения: \[(\rho_T-\rho_M)V_Tg+(\rho_Л-\rho_M)V_Лg=P.\]

    2. После таяния льда вода опускается на дно, тело всплывает и плавает на масле: \(\rho_TV_Tg=\rho_MV_T'g\), откуда \(V_T'=\dfrac{\rho_T}{\rho_M}V_T\). Объём жидкости и высоты уровня до и после таяния связаны соотношениями \(SH=V_M+V_T+V_Л\) и \(SH'=V_M+V_T'\), поэтому \[\alpha=\frac{H}{H'}=\frac{V_M+V_T+V_Л}{V_M+\beta V_T},\qquad \beta=\frac{\rho_T}{\rho_M},\] откуда \(\beta=\dfrac{V_M(1-\alpha)+V_T+V_Л}{\alpha V_T}\approx 0{,}667\).

    3. Подставляя \(\rho_T=\beta\rho_M\) в сумму уравнений из п. 1: \[\rho_M=\frac{P-\rho_ЛV_Лg}{\bigl((\beta-1)V_T-V_Л\bigr)g}\approx 817~\text{кг/м}^3, \qquad \rho_T=\beta\rho_M\approx 545~\text{кг/м}^3.\]

    4. Давление в точке \(A\) равно весу всего содержимого сосуда, делённому на площадь дна. Масса сосуда, масла, тела и воды/льда не меняется, поэтому давление на стол не меняется.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх