Призма Френеля

Период находят по дифракции лазера на призме как на решётке; угол призмы — по отклонению пучка на малый угол \(\beta=(n-1)\alpha\); дисперсию — по разнице отклонений для голубых и малиновых полосок.

i) Чтобы найти период решётки, поставим простой дифракционный опыт: направим лазерный свет через решётку на экран; на экране будет длинный ряд ярких пятен, соответствующих ряду главных максимумов; все углы малы, поэтому можно использовать приближение малых углов. По сравнению с парой лучей, выходящих из решётки от двух соседних щелей перпендикулярно, пара лучей, выходящих под малым углом \(\varphi\), получает дополнительную разность хода, равную \(d\sin\varphi\approx d\varphi\) (см. рисунок). Пусть угол \(\varphi_0\) соответствует главному дифракционному максимуму некоторого порядка \(n\), так что оптическая разность хода между двумя лучами равна целому числу \(n\) длин волн. Тогда для \((n+j)\)-го главного максимума, наблюдаемого под углом \(\varphi_j\), оптическая разность хода между соседними лучами равна \((n+j)\lambda\). Следовательно, \(d\varphi_j-d\varphi_0=j\lambda\), так что \(\varphi_j-\varphi_0=j\lambda/d\). Разность углов \(\varphi_j-\varphi_0\) приводит к расстоянию между яркими пятнами на экране \(a_j=(\varphi_j-\varphi_0)L\), где \(L\) — расстояние от решётки до экрана. Значит, можно измерить расстояние \(a_j\) между парой таких ярких пятен на экране, между которыми находится \(j-1\) ярких пятен, и вычислить постоянную решётки как \[d=\frac{j\lambda L}{a_j}.\] Для лучшей точности нужно брать как можно большее значение \(j\) (наибольшее, при котором оба пятна ещё остаются на экране). При \(L=\ \\), \(j=\ \\) и \(a_{10}\ \\) получаем \(d=\ \\).

ii) Есть два способа определить угол призмы. Первый: с помощью лазерного света и экрана определить, на какое расстояние \(x\) смещается самое яркое пятно на экране (нулевой главный максимум), когда призма Френеля вставлена на пути пучка на расстоянии \(L\) от экрана. Оказывается, что угол \(\beta\), на который призма отклоняет пучок, остаётся малым, так что снова можно использовать приближение малых углов: \(\beta=x/L\). Простой расчёт геометрической оптики даёт \[\alpha=\frac{\beta}{n-1}=\frac{x}{L(n-1)}.\] Для \(L=\ \\) и \(x=\ \\) получаем \(\alpha=\ \\).

Альтернативный подход — использовать голубые полоски на листе. Смотрим сквозь призму так, чтобы видеть полоски одновременно и сквозь призму, и мимо неё. Находим две такие соседние полоски и такое расстояние \(h\) между призмой и листом, что одна полоска, видимая сквозь призму, кажется точно в том же положении, что и другая полоска, видимая за краем призмы. Измеряем расстояние \(y\) между этими двумя полосками на листе. Тогда угол отклонения призмы \(\beta=y/h\), так что \[\alpha=\frac{\beta}{n-1}=\frac{y}{h(n-1)}.\] Для \(y=\ \\) и \(h=\ \\) получаем \(\alpha=\ \\).

iii) Наконец, используем ту часть листа, где есть соседние голубые и малиновые полоски. Берём близко расположенную пару таких полосок и смотрим на неё сквозь призму. В зависимости от ориентации призмы пара полосок либо сближается, либо, наоборот, раздвигается. Выбираем ту ориентацию, при которой полоски сближаются, и находим такое расстояние \(H\) между призмой и листом, при котором две полоски точно совмещаются (получается кажущаяся желтоватая полоска). Также измеряем расстояние \(z\) между полосками. Используя полученное выражение для угла отклонения \(\beta=\alpha(n-1)\), получаем выражение для изменения угла отклонения \(\delta\beta=\alpha\,\delta n\), где \(\delta n\) обозначает разность показателей преломления для голубого и малинового. Следовательно, \(\delta n=\delta\beta/\alpha\). Изменение угла отклонения можно найти из данных измерения как \(\delta\beta=z/H\). Так что \(\delta n=z/(H\alpha)\), и \[\frac{\mathrm dn}{\mathrm d\lambda}=\frac{z}{H\alpha(\lambda_m-\lambda_c)}.\] Используя \(z=\ \\) и \(H=\ \\), получаем \(\dfrac{\mathrm dn}{\mathrm d\lambda}=\ \\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.