Чёрный ящик

Постоянный ток через ящик идёт только через катушку; ёмкость находят по экспоненциальному разряду через мультиметр, а индуктивность оценивают с двух сторон из баланса энергии при размыкании цепи катушки.

ЭДС \(U=9{,}5\) В; \(R_l\approx100\) Ом; \(C\approx1\) мкФ; \(L\) между \(33{,}6\) и \(130\) мГн (\(L\approx100\) мГн).

Измеряя ток при подключении положительного щупа мультиметра к «синему», а отрицательного — к «чёрному», получаем \(I_0\approx95\) мА.

Только по этому одному измерению, поскольку мы получили цепь, постоянно проводящую ток, можно заключить, что схема внутри чёрного ящика должна быть одной из следующих (на рисунке: white — белый, black — чёрный, blue — синий):

Заметим, что порядок катушки и диода, соединённых последовательно, ничего не меняет.

Фактически измеренное значение тока немного меняется от одного чёрного ящика к другому, а также очень слегка изменяется из-за падения напряжения батарейки и небольшого нагрева катушки.

ii) (ЭДС). Измеряя напряжение между «синим» и «чёрным», определяем электродвижущую силу батарейки \(U=9{,}5\) В.

iii) (сопротивление катушки). Внутреннее сопротивление катушки находим как \(R_l=U/I_0\approx100\) Ом. Мы также получаем некоторую подсказку о величине индуктивности: при измерении мы не видели экспоненциального нарастания тока, а это значит, что \(L/R\ll t\).

i) (схема). Определить, какая из двух возможных схем находится внутри чёрного ящика, сложнее. Один из способов — заметить, что при отключении «синего» и «чёрного» мы можем получить небольшую искру или почувствовать небольшой импульс тока, если случайно коснёмся проводов в этот момент. Это потому, что \(L\,\dfrac{\partial I}{\partial t}=U_l\): ток через катушку не может измениться мгновенно, и напряжение, создаваемое катушкой, достаточно для искры или импульса высокого напряжения. Если же при размыкании цепи конденсатор включён параллельно катушке, этого эффекта мы не получим. Пробуя «белый» провод параллельно с «чёрным» или с «синим», можно определить, что во втором случае искры нет, и схема в чёрном ящике — схема B на рисунке.

iv) (ёмкость). Подключив вольтметр между «белым» и «чёрным» или между «белым» и «синим», можно увидеть, что напряжение спадает экспоненциально. Это означает, что конденсатор действительно подключён к «белому» проводу, и в зависимости от того, к «чёрному» или «синему» подключён другой щуп, мы либо заряжаем конденсатор до отрицательного напряжения батарейки через вольтметр, либо разряжаем его через вольтметр, катушку и диод. Нужно быть осторожным и не касаться обоих проводов одновременно, поскольку сопротивление кожи при хорошей проводимости намного меньше сопротивления вольтметра.

Ёмкость можно измерить по показателю экспоненты: например, взяв два показания напряжения и измерив интервал времени между ними. \(C=\dfrac{\ln(U_1/U_2)}{\tau R_m}\approx1\) мкФ.

v) (индуктивность). Сначала соединяем все три провода вместе. Тогда через катушку идёт ток, а конденсатор заряжен до отрицательного напряжения батарейки. Подключаем вольтметр между «белым» и «чёрным», так что измеряем сумму напряжений на конденсаторе и батарейке. Показание в начале равно нулю, поскольку все выводы ящика соединены. Теперь размыкаем контур катушки с батарейкой, отключая «чёрный» от остальных выводов ящика, и показание мультиметра скачком возрастает до \(U_c+U\) примерно \(32\) В и начинает экспоненциально спадать, как и раньше. Можно сделать это много раз, чтобы получить максимальное показание. После отключения «чёрного» ток идёт через LCR-контур, образованный катушкой и конденсатором, но вместо колебаний он прекращается из-за диода, когда ток через катушку достигает нуля.

Мы можем получить верхнюю и нижнюю границы значения индуктивности, рассмотрев два разных случая.

Верхнюю границу получаем, когда пренебрегаем потерями на сопротивлении. Тогда вся энергия в конце оказывается в конденсаторе. Записывая баланс энергии, получаем: \[\frac{U^2C}{2}+\frac{I^2L}{2}=\frac{U_c^2C}{2}\ \Rightarrow\ L\approx130\text{ мГн}.\] Нижнюю границу получаем, когда предполагаем, что бо́льшая часть энергии ушла в потери на сопротивлении; в этом случае ток катушки затухает экспоненциально, и можно записать выражение для полного заряда: \[(U_c+U)\,C=\frac{IL}{R_l}\ \Rightarrow\ L\approx33{,}6\text{ мГн}.\]

Правильное значение \(L\approx100\) мГн лежит между этими границами и, как можно догадаться, ближе к верхней границе, поскольку \(U_c>U\).

Можно получить более точное значение, если рассматривать задачу без этих предположений — как затухающее гармоническое колебание.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.