«Серый» ящик

Сравните напряжения между парами выводов. Если бы между выводами \(A\) и \(B\) был резистор почти нулевого сопротивления, два других напряжения совпадали бы. Для схемы «звезда» напряжение между \(A\) и \(B\) равно нулю, если источник подключён к выводу \(C\).

Внимание! Все измеренные значения приведены для авторской установки.

1. Измерим напряжения: \(U_{AB} = 0{,}00\) В, \(U_{AC} = 12{,}73\) В, \(U_{BC} = 6{,}82\) В. Пусть элементы соединены «треугольником». Тогда между выводами \(A\) и \(B\) должен быть резистор практически нулевого сопротивления. В таком случае два других напряжения должны совпадать (или быть очень близкими), что не наблюдается. Значит, элементы соединены «звездой».

2. По тем же измерениям установим соответствие между выводами. Так как напряжение между выводами \(A\) и \(B\) равно нулю, источник подключён к выводу \(C\) (\(C\to 1\)). Напряжение между \(A\) и \(C\) больше, следовательно, резистор, подключённый к выводу \(A\), имеет меньшее сопротивление (\(A\to 2\)). Соответственно, \(B\to 3\).

3. Различие между значениями \(U_{AC}\) и \(U_{BC}\) показывает, что внутренним сопротивлением вольтметра пренебрегать нельзя. Кроме того, омметр даже в режиме \(2\) МОм, подключённый к выводам \(A\) и \(B\) (2 и 3), «зашкаливает», что говорит о том, что \(r + R > 2\) МОм.

Вариант 1. У мультиметра минимальный предел измерения силы тока \(200\) мкА (серия 830).

4. Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел \(200\) мкА) и измерим силу тока между всеми парами выводов: \(I_{AB} = 0\), \(I_{AC} = 37{,}7\) мкА, \(I_{BC} = 10{,}6\) мкА.

5. Пусть \(R_V\) — сопротивление прибора в режиме вольтметра. Тогда \[U_{AC} = \frac{\mathcal{E} R_V}{R_V + r}, \qquad U_{BC} = \frac{\mathcal{E} R_V}{R_V + R}.\] С другой стороны, \(\mathcal{E} = I_{AC}\,r = I_{BC}\,R\). Отсюда \[\frac{R}{r} = \frac{I_{AC}}{I_{BC}} = \frac{37{,}7}{10{,}6} = 3{,}56, \qquad \frac{R_V + R}{R_V + r} = \frac{U_{AC}}{U_{BC}} = \frac{12{,}73}{6{,}82} = 1{,}87.\] Получаем \(R_V + 3{,}56\,r = 1{,}87\,R_V + 1{,}87\,r\), откуда \(r = 0{,}514\,R_V\). Подставим найденное значение: \[U_{AC} = \frac{\mathcal{E}}{1 + 0{,}514} \quad\Rightarrow\quad \mathcal{E} = 1{,}514\,U_{AC} = 1{,}514 \cdot 12{,}73~\text{В} \approx 19{,}3~\text{В}.\] \[r = \frac{\mathcal{E}}{I_{AC}} = \frac{19{,}3~\text{В}}{37{,}7~\text{мкА}} = 512~\text{кОм}, \qquad R = \frac{\mathcal{E}}{I_{BC}} = \frac{19{,}3~\text{В}}{10{,}6~\text{мкА}} = 1{,}82~\text{МОм}.\]

Вариант 2. У мультиметра минимальный предел измерения силы тока \(2000\) мкА (серии 832 и 838).

4. Переведём мультиметр в режим микроамперметра (предел \(2000\) мкА) и измерим силу тока между всеми парами выводов: \(I_{AB} = 0\), \(I_{AC} = 38\) мкА, \(I_{BC} = 11\) мкА.

5. Аналогично варианту 1, \(\dfrac{R}{r} = \dfrac{38}{11} = 3{,}45\) и \(\dfrac{R_V + R}{R_V + r} = \dfrac{12{,}7}{6{,}82} = 1{,}87\), откуда \(r = 0{,}55\,R_V\). Тогда \(\mathcal{E} = 1{,}55\,U_{AC} = 1{,}55 \cdot 12{,}73~\text{В} \approx 19{,}7\) В, \(r = \dfrac{19{,}7~\text{В}}{38~\text{мкА}} = 520\) кОм, \(R = \dfrac{19{,}7~\text{В}}{11~\text{мкА}} = 1{,}79\) МОм.

Вычисленные значения: вариант 1 — \(\mathcal{E} = 19{,}3\) В, \(r = 512\) кОм, \(R = 1{,}82\) МОм; вариант 2 — \(\mathcal{E} = 19{,}7\) В, \(r = 520\) кОм, \(R = 1{,}79\) МОм.

Примечание: значения, измеренные напрямую в авторской установке: \(\mathcal{E} = 19{,}2\) В, \(r = 507\) кОм, \(R = 1{,}80\) МОм.

Оценка погрешностей (примечание ЦПМК). Аккуратный расчёт погрешности в данной работе проводить не имеет смысла, но оценить её можно. Если исходные значения измеренных величин определены с точностью, например, \(2\%\), то погрешность отношений сопротивлений будет \(4\%\), а погрешность окончательных результатов составит \(5\)–\(10\%\).

Общие формулы (их вывод от участников олимпиады не требуется): \[\mathcal{E} = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC}-I_{BC})}{I_{AC}U_{BC}-I_{BC}U_{AC}}, \quad r = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC}-I_{BC})}{I_{AC}\,(I_{AC}U_{BC}-I_{BC}U_{AC})}, \quad R = \frac{U_{AC}U_{BC}(I_{AC}-I_{BC})}{I_{BC}\,(I_{AC}U_{BC}-I_{BC}U_{AC})}.\]