Две заряженные точки на пружине

Центр масс покоится. Разложите силу Кулона по малому смещению, учитывая, что оно мало по сравнению с \(L\). Частота колебаний растёт из-за добавки к жёсткости пружины.

Центр масс системы покоится. Пусть \(x_0\) — равновесное растяжение пружины после сообщения зарядов. Условие равновесия \(kx_0=\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(L+x_0)^2}\); при \(x_0\ll L\) и разложении в ряд получаем \[\left(k+\frac{2q^2}{4\pi\varepsilon_0 L^3}\right)x_0=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 L^2}.\] Для малых колебаний эффективная жёсткость пружины \[k_{\text{эфф}}=k+\frac{2q^2}{4\pi\varepsilon_0 L^3},\] а циклическая частота колебаний системы \(\omega_1^2=k_{\text{эфф}}\dfrac{m+M}{mM}\). Частота без зарядов \(\omega_0^2=k\dfrac{m+M}{mM}\). По условию \(\dfrac{\omega_1}{\omega_0}=n\), откуда \[q^2=2\pi\varepsilon_0\,(n^2-1)\,kL^3,\qquad n=2\ \Rightarrow\ q=\sqrt{6\pi\varepsilon_0 kL^3}.\]