Нелинейная лента

Первая пружина и лента соединены последовательно и вместе — параллельно второй пружине. Выразите силу упругости ленты через её удлинение из условий равновесия: получится прямая, которую можно провести прямо на графике ленты и найти точку пересечения. При малой силе лента ведёт себя как пружина с жёсткостью по касательной в начале графика.

Пусть \(F_1\) — сила упругости ленты и первой пружины, а \(F_2\) — сила упругости второй пружины.

Сила \(F\), с которой растягивают данную систему, уравновешивается данными силами \(F_1\) и \(F_2\): \[F = F_1 + F_2.\] Закон Гука для пружин: \(F_1 = k\Delta x_1\) и \(F_2 = k\Delta x_2\).

Суммарное удлинение первой пружины и ленты равно удлинению второй пружины: \[\Delta x_1 + \Delta x = \Delta x_2.\] Из этих уравнений получим: \[\Delta x = \Delta x(F_1) = \frac{F}{k} - \frac{2}{k}F_1, \tag{1}\] или \[F_1(\Delta x) = \frac{F}{2} - \frac{k}{2}\Delta x. \tag{1'}\]

При \(F_1 < 1\text{ Н}\) лента ведёт себя как пружина с коэффициентом жёсткости \(k_0 \approx 120\text{ Н/м}\), который можно определить с помощью коэффициента наклона касательной к начальному участку графика.

Следовательно, зависимость удлинения ленты от растягивающей её силы можно выразить как: \[F_1 = k_0\Delta x. \tag{2}\] Подставляя (2) в (1), получим \[\Delta x = \frac{F}{k} - \frac{2k_0}{k}\Delta x\] или \[\Delta x = \frac{F}{2k_0 + k} \approx 2{,}9\text{ мм}.\] Тогда \[\Delta x_1 = \frac{F_1}{k} = \frac{k_0}{k}\Delta x = \frac{k_0 F}{(2k_0 + k)k} \approx 3{,}5\text{ мм}\] и

\[\Delta x_2 = \Delta x_1 + \Delta x \approx 6{,}4\text{ мм}.\]

Для нахождения растяжений при \(F = 20\text{ Н}\) построим зависимость (1\('\)) (аналог нагрузочной прямой из электричества) на графике из условия.

Пересечение этих прямой и кривой позволяет найти силу упругости ленты \(F_1 \approx 6{,}7\text{ Н}\) и её удлинение \[\Delta x \approx 6{,}5\text{ см}.\] Следовательно, удлинение первой пружины \[\Delta x_1 = \frac{F_1}{k} \approx 6{,}7\text{ см}\] и удлинение второй пружины \[\Delta x_2 = \Delta x_1 + \Delta x \approx 13{,}2\text{ см}.\]

Угловой коэффициент прямой (1\('\)) не зависит от прикладываемой силы. Проведём прямую с таким угловым коэффициентом через крайнюю точку графика (25 см; 14 Н) либо решим уравнение аналитически, подставив в соответствующие значения \[F_1 = \frac{F_{\max}}{2} - \frac{k}{2}\Delta x_{\max}.\] Тогда максимальная сила: \(F_{\max} = 53\text{ Н}\).