Зонд

Масса гелия в шаре при подъёме не меняется, а сила Архимеда определяется плотностью воздуха \(pM_\text{в}/(RT)\) на данной высоте. Во втором пункте условие равновесия превращается в линейную зависимость \(p(h)\) — её удобно нарисовать поверх графика.

Температура падает с высотой со скоростью \(k = 8\) К/км. На высоте \(h_1 = 4\) км, следовательно, температура равна \(T_1 = 268\) К, а давление (по графику) \(p_1 \approx 62\) кПа. Плотность воздуха на этой высоте равна \[\rho_\text{в1} = \frac{p_1 M_\text{в}}{RT_1}.\] Масса гелия в шаре \(m_\text{г}\) в процессе подъёма не меняется, поэтому \[m_\text{г} = \frac{p_0 M_\text{г} V}{RT_0}.\] Запишем условие равновесия зонда на заданной высоте: \[\rho_\text{в1} g V = (m_\text{г} + m_0 + m_\text{д})g,\] откуда \[m_\text{д} = \rho_\text{в1} V - m_\text{г} - m_0 = \frac{p_1 M_\text{в} V}{RT_1} - \frac{p_0 M_\text{г} V}{RT_0} - m_0 = 4{,}9\text{ кг}.\]

Без датчиков шар будет подниматься, пока не станет справедливым новое условие равновесия \[\rho_\text{в} g V = (m_\text{г} + m_0)g.\] Отсюда следует, что \[\frac{p(h) M_\text{в}}{RT(h)} = \frac{m_\text{г} + m_0}{V} \;\Rightarrow\; p(h) = \frac{(m_\text{г} + m_0)R}{M_\text{в} V}\cdot(T_0 - kh) \approx 48\text{ кПа} - 1{,}3\,\frac{\text{кПа}}{\text{км}}\cdot h.\] Для нахождения высоты построим поверх графика зависимости \(p(h)\) прямую, соответствующую полученному уравнению, и найдём, что максимальная высота равна примерно 7,6 км.