Ползущий рельс (теоретический тур)

Пусть \(x\) — расстояние от левой опоры до центра масс в начальный момент, \(F_1\) и \(F_2\) — показания левого и правого динамометров. Моменты сил относительно опор дают \(F_1 = Mg - \dfrac{Mgx}{l} - \dfrac{Mgv}{l}t\), \(F_2 = \dfrac{Mgx}{l} + \dfrac{Mgv}{l}t\). Оба графика линейны, их угловые коэффициенты противоположны по знаку, а \(F_1 + F_2 = Mg\).

Точки 2 и 3, а также 1 и 3 не могут принадлежать одному графику: это приводит к отрицательной силе реакции в начальный момент или к опрокидыванию рельса до старта. Значит, точки 1 и 2 принадлежат одному графику (возрастающему \(F_2\)), а точка 3 — другому (\(F_1\)).

По графикам \(Mg = 6\) кН, откуда \(M = 600\) кг. Продлевая графики до оси \(t\), находим, что рельс проехал бы путь \(l\) за 36 с, значит \(v = \dfrac{9}{36} = 0{,}25\) м/с.

Минимальная длина: в начальный момент центр масс на расстоянии \(6{,}75\) м от правой опоры, а в момент точки 3 (\(t = 21\) с) центр масс смещён на \(vt = 5{,}25\) м и находится на расстоянии \(7{,}5\) м от левой опоры. Значит, длина рельса не меньше \(L_{\min} = 2\cdot 7{,}5 = 15\) м.