Туда-сюда (теоретический тур)

Мощность плитки \(N = \dfrac{cm\,\Delta t}{\Delta\tau}\), где \(m = 5\) кг — масса воды в половине кастрюли. Между \(\tau_1\) и \(\tau_2\) масса воды равна \(m\), поэтому \(N = \dfrac{cm(t_2 - t_1)}{\tau_2 - \tau_1} = 1{,}75\) кВт.

1) Если масса не меняется, скорость нагрева \(5\) \(^\circ\)C/мин, и за 10 мин температура станет \(t_{\text{к}} = t_0 + 10\cdot 5 = 70\) \(^\circ\)C.

2) Пусть доливают \(\Delta m\) воды при температуре \(t_x < t_{45}\), а забор происходит в момент \(\tau\). Баланс тепла к моменту \(8\tau_0\) (здесь \(\tau_0 = 1\) мин): \(8N\tau_0 = cm(t_{45} - t_0) + c\Delta m(t_x - t_0)\), откуда \[\Delta m = \frac{8N\tau_0 - cm(t_{45} - t_0)}{c(t_x - t_0)}.\] Масса \(\Delta m\) минимальна при максимальной температуре доливаемой воды \(t_x = t_{45} = 45\) \(^\circ\)C: \(\Delta m_{\min} = \dfrac{8\cdot 1750\cdot 60 - 4200\cdot 5\cdot 25}{4200\cdot 25} = 3\) кг, то есть \(m_{\min} = 3\) кг.

3) Тепло, выделившееся к моменту \(\tau\), идёт на нагрев всей воды массой \(m + \Delta m\) от \(t_0\) до \(t_x\): \(N\tau = c(m + \Delta m)(t_x - t_0)\). Подставив \(t_x - t_0\) из баланса для \(8\tau_0\), получаем \[\tau = \left(1 + \frac{m}{\Delta m}\right)\left(8\tau_0 - \frac{cm(t_{45} - t_0)}{N}\right).\] Время \(\tau\) минимально при наибольшей доливаемой массе \(\Delta m = m = 5\) кг (кастрюля 10 л заполнена наполовину): \(\tau_{\min} = 2\left(480~\text{с} - 300~\text{с}\right) = 360\) с \(= 6\) мин.

Графически: в координатах «время–температура» график состоит из трёх отрезков. Первый — до долива, на прямой через точку (0 мин; 20 \(^\circ\)C) с наклоном \(N/(cm)\); второй — после долива (масса \(m + \Delta m\)), идёт более полого; третий — после забора воды (масса \(m\)), параллелен первому. Прямая из точки излома до пересечения с третьим отрезком даёт \(\tau_{\min} = 6\) мин, а второй отрезок не может пересечься с третьим позже точки, соответствующей \(m_{\min} = 3\) кг.