Соскальзывание монеты

Угол, при котором монета на трибометре начинает скользить с почти постоянной скоростью, даёт коэффициент трения о наклонную поверхность. Для скольжения по столу учтите, что при ударе о стол резко меняется нормальная реакция и сила трения.

На первом шаге измеряем коэффициент трения монеты о наклонную плоскость. При легком постукивании происходит соскальзывание с почти постоянной скоростью, \(a = 0\): \[\operatorname{tg}\alpha_1 = \mu_1. \tag{1}\] Увеличим угол. Скорость в конце наклонной плоскости длины \(l\): \[v_1^2 = 2al = 2g(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)\,l.\] В момент удара о стол резко возрастает нормальная реакция, что приводит к увеличению силы трения. Скорость сразу после удара \[v_x = v_1\cos\alpha - \mu v_1\sin\alpha = v_1(\cos\alpha - \mu\sin\alpha),\] где \(\mu\) — коэффициент трения монеты о стол, а вертикальная компонента скорости \(v_1\sin\alpha\) гасится трением. Расстояние, пройденное монетой по столу: \[L = \frac{v_x^2}{2\mu g} = \frac{(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)(\cos\alpha - \mu\sin\alpha)^2}{\mu}\,l. \tag{3}\] Обозначим \(b = \dfrac{L}{l(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)}\). Тогда \(\mu b = (\cos\alpha - \mu\sin\alpha)^2\), откуда \[\mu = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha + b - \sqrt{4b\sin\alpha\cos\alpha + b^2}}{2\sin^2\alpha}. \tag{4}\] Знак минус выбран, иначе \(\mu \gg 1\). Эквивалентно, \(\mu = \cot\alpha\,(c - \sqrt{c^2 - 1})\), где \(c = 1 + \dfrac{b}{2\sin\alpha\cos\alpha}\).

Если потерю скорости при ударе не учитывать, то \[L = \frac{v_x^2}{2\mu g} = \frac{(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)\,l\cos^2\alpha}{\mu}, \qquad \mu_{1\text{упр}} = \frac{(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)\cos^2\alpha}{L}\,l. \tag{5, 6}\] Если считать, что вся скорость в нижней точке горки переходит в скорость на столе, то \[L = \frac{(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)\,l}{\mu}, \qquad \mu_{2\text{упр}} = \frac{(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)}{L}\,l. \tag{7, 8}\] Упрощённые формулы дают завышенное значение коэффициента трения.

Измерения. Линейка 50 см. Коэффициент трения о наклонную плоскость \[\mu_1 = \operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{14{,}5}{50}\right) = 0{,}303.\] Высота края линейки 20 см, угол \(\alpha = \arcsin\dfrac{20}{50} = 0{,}412\) рад.

Результаты измерений: при \(l = 10\), \(20\), \(30\), \(40\) см получены \(L = 4{,}5\), \(9\), \(14\), \(20\) см и \(\mu = 0{,}192\), \(0{,}192\), \(0{,}186\), \(0{,}175\) соответственно.

Среднее значение \(\bar\mu = \dfrac{0{,}192 + 0{,}192 + 0{,}186 + 0{,}175}{4} = 0{,}186\), \(S_{\bar x} = 0{,}004\), \(\mu = 0{,}186 \pm 0{,}013\). Если не учесть торможение в момент удара о стол, получается \(\bar\mu = 0{,}22\); на столах в ЛЭТИ коэффициент трения должен быть меньше.