Задачи › Баллистика: бросок под углом

Наполнение бака водой из шланга

  1. Наполнение бака водой из шланга

    Физтех 2020/21, 9 кл.
    5/10

    Из шланга хотят наполнить водой вкопанный в землю цилиндрический бак с вертикальной стенкой высотой \(H\) и радиусом дна \(H\) (см. рис.). Конец шланга находится на расстоянии \(H\) по вертикали и \(H\) по горизонтали от ближнего края бака. При выходе из шланга площадь поперечного сечения струи \(S\), а скорость воды \(V = \sqrt{0{,}5\,gH}\). Считать, что поперечные размеры струи при полёте воды значительно меньше \(H\). Вода в струе движется в плоскости рисунка. Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Рисунок

    1. За какое время бак заполнится водой, если струя попадает в бак?

    2. Под каким углом к горизонту должна выходить струя воды из шланга, чтобы попасть в ближнюю верхнюю точку \(A\) бака? Можно найти значение тангенса угла.

    3. Под какими углами к горизонту должна выходить струя воды из шланга, чтобы попасть в бак? Можно найти диапазон изменения тангенсов углов.

    Справочная формула: \(1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите уравнения движения струи в координатах с началом в конце шланга и выразите время полёта через горизонтальную координату точки попадания.

    Ответ

    1) \(T = \dfrac{\pi\sqrt{2}\,H^3}{S\sqrt{gH}}\);  2) \(\mathrm{tg}\,\alpha = 1\) (\(\alpha = 45^\circ\); также корень \(\alpha = 0\));  3) \(0 < \mathrm{tg}\,\alpha < 1\) (\(0 < \alpha < 45^\circ\)).

    Решение

    1) \(VT\cdot S = \pi H^2\cdot H\). Время наполнения \[T = \frac{\pi H^3}{VS} = \frac{\pi\sqrt{2}\,H^3}{S\sqrt{gH}} .\]

    2) Начало координат поместим в конец шланга, оси \(x\) и \(y\) направим горизонтально направо и вертикально вверх. \(x = V\cos\alpha\cdot t\), \(y = V\sin\alpha\cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2\). Найдём угол, при котором струя попадёт в точку \(A\): \(H = V\cos\alpha\cdot t\), \(-H = V\sin\alpha\cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2\). Исключая время \(t\) с учётом выражения для \(V\), получаем \(\mathrm{tg}^2\alpha - \mathrm{tg}\,\alpha = 0\). Отсюда \(\mathrm{tg}\,\alpha = 1\) или \(\mathrm{tg}\,\alpha = 0\), то есть \(\alpha = 45^\circ\), \(\alpha = 0\).

    3) Найдём углы, при которых струя попадает в дальнюю верхнюю точку \(B\) бака: \(3H = V\cos\alpha\cdot t\), \(-H = V\sin\alpha\cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2\). Исключая время \(t\) с учётом выражения для \(V\), получаем \(9\,\mathrm{tg}^2\alpha - 3\,\mathrm{tg}\,\alpha + 8 = 0\). Это уравнение не имеет корней. Следовательно, ни при каких углах струя не достигнет точки \(B\). Итак, чтобы попасть в бак, струя должна выходить под такими углами, чтобы \(0 < \mathrm{tg}\,\alpha < 1\) (или \(0 < \alpha < 45^\circ\)).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх