Шайба и клин на гладком столе

Если клин удерживать, шайба движется по наклонной плоскости с ускорением \(g\sin\alpha\). Если клин свободен, в системе клина шайба движется по наклонной плоскости, а горизонтальный импульс системы сохраняется.

1) \(\dfrac{H}{\sin\alpha} = \dfrac{1}{2}(g\sin\alpha)t_1^2\). Тогда \[t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g\sin^2\alpha}} = \frac{5}{3}\sqrt{\frac{2H}{g}}.\]

2) Пусть \(M = 3m\) — масса клина, \(a\) — ускорение клина, \(a_0\) — ускорение шайбы относительно клина, \(N\) — сила нормальной реакции клина на шайбу. Ускорение шайбы равно сумме переносного (ускорения клина) и относительного ускорений. Уравнение движения для клина в проекциях на горизонтальную ось \(N\sin\alpha = Ma\). Уравнение движения для шайбы в проекциях на нормаль к поверхности клина \(N - mg\cos\alpha = -ma\sin\alpha\). Отсюда \[a = \frac{mg\cos\alpha\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha} = \frac{1}{7}\,g .\]

3) Уравнение движения для шайбы в проекциях на ось вдоль поверхности клина \(mg\sin\alpha = m(a_0 - a\cos\alpha)\). Тогда \(a_0 = g\sin\alpha + a\cos\alpha = \dfrac{5}{7}\,g\). Относительно клина \(\dfrac{H}{\sin\alpha} = \dfrac{1}{2}a_0t_2^2\). Отсюда \[t_2 = \sqrt{\frac{2H}{a_0\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{14H}{3g}} .\]