Электронные весы

Подсказка

Нагрузку на таблетку считайте из правила моментов для линейки, а сопротивление находите по делителю напряжения с известным резистором; линейную связь напряжения с массой получите, подобрав сопротивление резистора, чтобы проводимость таблетки зависела от силы линейно.

Ответ

1.1) \(m_0=m_1\dfrac{l_1}{L-l_1/2}=(14\pm2)\) г; 1.3–1.4) закон Ома выполняется; \(R_x=(137\pm7)\) Ом при \(F=5\) Н и \(R_x=(94\pm5)\) Ом при \(F=10\) Н; 2.4) \(G=cF+b\), \(c=(0{,}98\pm0{,}04)\) мСм/Н, \(b=(3{,}2\pm0{,}3)\) мСм; сила давления \(F=(0{,}9+n)\) Н для груза \(100\) г; 3.2) \(r\approx2{,}2\) Ом, \(m_0\approx40\) мВ.

Решение

Часть 1. Изучение вольтамперной характеристики таблетки.

1.1 Для измерения массы линейки можно использовать правило рычага. Для этого на конец линейки следует поместить гирьку массой \(m_1 = 50\) г и уравновесить линейку на упоре (в качестве которого можно использовать край стола). Условие равновесия линейки с гирькой имеет вид

\[m_1 l_1 = m_0 \left( L - \frac{l_1}{2} \right),\tag{1}\]

где \(l_1\) - расстояния от центра гирьки до упора, \(L\), \(m_0\) - длина и масса линейки. Из уравнения (1) следует, что масса линейки рассчитывается по формуле

\[m_0 = m_1 \frac{l_1}{L - \frac{l_1}{2}}.\tag{2}\]

По результатам измерений: \(L = (40{,}8 \pm 0{,}2)\) см, \(l_1 = (4{,}6 \pm 0{,}3)\) см, \(m_1 = (50 \pm 2)\) г. По этим данным масса линейки равна

\[m_1 = (14 \pm 2) \text{ г}.\tag{3}\]

Погрешность определена по методу границ.

1.2 Рассчитаем на каком расстоянии следует расположить гирьку массы \(m\), чтобы на таблетку со стороны линейки действовала сила давления \(F\). Здесь и далее будем использовать следующие обозначения:

\(a\) - расстояние от скобы до центра таблетки; \(l\) - расстояние от скобы до центра гирьки. По третьему закону Ньютона на линейку со стороны таблетки действует сила \(F'\) равная по модулю силе давления на таблетку \(F\). Поэтому условие равновесия линейки имеет вид

\[Fa = m_0 g \frac{L}{2} + mgl.\tag{4}\]

Откуда следует, что место гирьки можно рассчитать по формуле

\[l = \frac{Fa - m_0 g \frac{L}{2}}{mg}.\tag{5}\]

Для измерений необходимо использовать гирьку массой \(m = 100\) г. Для создания нагрузки \(F = 5\) Н гирька должна располагаться на расстоянии \(l = 15\) см, а для нагрузки \(F = 10\) Н на расстоянии \(l = 35\) см. Для измерения вольтамперной характеристики следует измерить: напряжение \(U_0\) на резисторе с известным сопротивлением \(R_0 = 100\) Ом и напряжение \(U_x\) на таблетке. Сила тока рассчитывается по формуле

\[I = \frac { U _ { 0 } } { R _ { 0 } } \, .\tag{6}\]

Результаты измерений, а также результаты расчетов силы тока приведены в Таблицах 1 и 2 (для различных сил давления).

Таблица 1. \(F = 5\,H\).

Таблица 2. \(F = 10\,H\).

Графики полученных зависимостей показаны ниже.

Графики показывают, что с высокой точностью сила тока пропорциональна напряжению, то есть закон Ома выполняется.

Сопротивления таблетки при разных нагрузках следует определять по наклону графиков

\[R_{\text{x}} = \frac{\Delta U}{\Delta I} \, .\tag{7}\]

Понятно, что основную погрешность в определении сопротивления вносит приборная погрешность известного сопротивления, поэтому относительная погрешность измеренных сопротивлений также будет равна 5%.

Из построенных графиков находим:

при нагрузке \(F = 5\,\text{Н}\) \(R_x = (137 \pm 7)\,\text{Ом}\);

при нагрузке \(F = 10\,\text{Н}\) \(R_x = (94 \pm 5)\,\text{Ом}\).

Часть 2. Зависимость сопротивления таблетки от нагрузки.

Для расчета силы давления на таблетку можно воспользоваться уравнением (4), из которого следует расчетная формула

\[F = m_0 g \frac{L}{2a} + mg \frac{l}{a}.\tag{7}\]

Если воспользоваться «подсказкой» (\(l = na\), \(n = 0{,}1{,}2{,}3...\)) и подставить численные значения, то получится формула для расчета «в уме»: для груза массы 100 г: \(F = (0{,}9 + n) \, \text{Н}\); для груза массы 50 г: \(F = (0{,}9 + 0{,}5n) \, \text{Н}\). Для измерения сопротивления по-прежнему необходимо измерять напряжения на резисторе и на таблетке. Формула для расчета сопротивления таблетки очевидна:

\[R_x = R_0 \frac{U_x}{U_0}.\tag{8}\]

Таблица 3. Зависимость сопротивления от нагрузки (\(m = 100 \, \text{г}\))

Таблица 4. Зависимость сопротивления от нагрузки (\(m = 50 \, \text{г}\))

Результаты измерений и последующих расчетов приведены в таблицах 3 и 4. (Отметим, что по условию задачи для груза \(m = 50\) г достаточно было провести измерения только при нагрузке). Ниже показаны графики зависимостей сопротивления от силы давления на таблетку. График 2. Зависимости сопротивления от силы давления

Из графиков видно, что незначительный гистерезис деформации наблюдается, однако им можно пренебречь, так как различия не превышают 10%. Более убедительно согласование данных видно на графике 3, где представлена зависимость проводимости таблетки от приложенной к ней силе.

График 3. Зависимость проводимости от силы давления

\[G = cF + b.\tag{9}\]

Параметры этой зависимости, найденные по методу наименьших квадратов (напомним, ученикам погрешности рассчитывать не обязательно) равны

\[c = (0{,}98 \pm 0{,}04) \frac{\text{мСм}}{H}; \quad b = (3{,}2 \pm 0{,}3) \text{мСм}.\tag{10}\]

Часть 3. Конструирование весов.

Согласно полученным данным проводимость таблетки линейно зависит от силы давления, следовательно, при постоянном напряжении сила тока (!) через таблетку линейно зависит от силы давления. Поэтому, необходимо подключить таблетку к источнику постоянного напряжения и измерять силу тока. Для ее измерения можно в цепь последовательно включить малый резистор (сопротивление которого значительно меньше сопротивления таблетки) и измерять напряжение на нем. Роль такого резистора может сыграть реостат, причем, изменяя его сопротивление \(r\) можно подобрать необходимые параметры установки. Таким образом, мы приходим к следующей схеме измерений.

Расчет напряжения на резисторе (при условии, что \(r \ll R_x\)) не представляет труда и с учетом полученных ранее формул, приводит к результату

\[U = I \cdot r = U _ { 0 } G \, r = U _ { 0 } ( c F + b ) r = U _ { 0 } \left( c \cdot \left( F _ { 0 } + m g \, \frac { l } { a } \right) + b \right) r =\]

\[= U _ { 0 } r \left( c F _ { 0 } + b \right) + U _ { 0 } c \, r m g \, \frac { l } { a }\tag{11}\]

Осталось только подобрать необходимые параметры. Для повышения чувствительности весов примем \(\frac{l}{a} = 10\) (т.е. \(l = 35\,\text{см}\)). Тогда слагаемое в формуле (11), зависящее от измеряемой массы груза (в граммах) равно

\[U _ { 0 } c \, r m g \, \frac { l } { a } = 4 { , } 6 8 \cdot 0 { , } 9 8 \cdot 1 0 \cdot 1 0 \cdot \frac { m } { 1 0 0 0 } r \approx m \, ,\]

если \(r \approx 2 { , } 2 \, \text{Ом}\). При этом значении сопротивление постоянное слагаемое в формуле (11) оказывается равным

\[m _ { 0 } = U _ { 0 } \left( c F _ { 0 } + b \right) r \approx 4 0 \, \text{мВ} \, .\]

Настраивать установку можно следующим образом: собираем цепь, не помещая груза, с помощью движка реостата выводим напряжение до 40 мВ, после этого на расстоянии 35 см устанавливаем измеряемый груз.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.