Скатывание по склону

Для равноускоренного движения средняя скорость на интервале от нулевой отметки линейна по времени, а средняя скорость между соседними метками — по полусумме моментов прохождения; по наклону таких графиков находят ускорение, а его зависимость от разности высот аналогична зависимости от синуса угла наклона.

1.3) нет, движение не равномерное (график \(x(t)\) не прямая); 1.4) \(\langle v\rangle=v_0+at/2\), график показывает отклонение от равноускоренного из-за сопротивления воздуха; по интервальной скорости \(v_{\text{ср},k}=v_0+a\,\dfrac{t_k+t_{k-1}}{2}\) получено \(a=(1{,}3\pm0{,}1)\) мм/с\(^2\) при \(h=130\) мм; 2.3) \(a=Ch+b\), \(C=0{,}015\text{ с}^{-2}\), \(b=-0{,}64\) мм/с\(^2\) (теория: \(a=2g\left(\dfrac{r}{R}\right)^2\dfrac{\Delta h}{L}\), \(C\approx0{,}011\text{ с}^{-2}\)).

Часть 1.

Для экспериментального изучения закона движения удобно засекать времена \(t_k\), когда ось диск проходит отметку координаты \(x_k\).

Результаты измерений времен прохождения отметок представлены в таблице 1 (для разности уровней \(h = 130\) мм). На графике 1 показан закон движения оси диска.

Таблица 1. Изучение закона движения для \(h = 130\) мм.

График не является прямой линией, поэтому движение не может считаться равномерным.

Построим график зависимости средней скорости от времени. Причем среднюю скорость рассчитываем на интервале \([x_0, x_k]\) по формуле (результаты расчетов представлены в таблице 1):

\[\langle v \rangle_k = \frac{x_k}{t_k}.\tag{1}\]

При равноускоренном движении, проходящем по закону

\[x = v_0 t + \frac{a t^2}{2},\tag{2}\]

данная средняя скорость должна линейно зависеть от времени

\[\langle v \rangle = \frac{x}{t} = v_0 + \frac{a t}{2},\tag{3}\]

График показывает, что, строго говоря, движение не является равноускоренным, так как полученная зависимость не является линейной. . На данном же графике видно, что со временем средняя скорость возрастает медленнее, чем по линейному закону – сказывается влияние силы сопротивления воздуха.

Нескольку лучший результат (в смысле приближенности к равноускоренному движению) получается, если времена и координаты отсчитывать от первой (а не нулевой отметки) – в этом случае участок, который можно приближенно отнести к равноускоренному движению больше (6 начальных точек хорошо ложатся на прямую линию).

Получим формулу для расчета средней скорости на интервале пути. Для этого запишем выражения для пройденных путей при равноускоренном движении

\[\begin{aligned} x_{k-1} &= v_0 t_{k-1} + \frac{a t_{k-1}^2}{2} \\ x_k &= v_0 t_k + \frac{a t_k^2}{2} \end{aligned}\tag{4}\]

И вычтем первое равенство из второго:

\[x _ { k } - x _ { k - 1 } = v _ { 0 } \left( t _ { k } - t _ { k - 1 } \right) + \frac { a \left( t _ { k } ^ { 2 } - t _ { k - 1 } ^ { 2 } \right) } { 2 } .\tag{5}\]

Из этой формулы следует выражение для средней скорости на интервале пути

\[v _ { \text{ср.}k } = \frac { x _ { k } - x _ { k - 1 } } { \left( t _ { k } - t _ { k - 1 } \right) } = v _ { 0 } + a \frac { \left( t _ { k } + t _ { k - 1 } \right) } { 2 } .\tag{6}\]

Из этого выражения следует, что данную среднюю скорость необходимо рассматривать в зависимости от среднего арифметического времен прохождения концов интервала. Результаты расчетов также приведены в таблице 1. График зависимости показан на рис. 3. На этой зависимости участок равноускоренного движения выражен более четко, однако разброс точек более заметен, что связано с большими погрешностями при расчете разностей времен.

Интересно отметить, что расчет ускорения по зависимости 3 дает значение \(a = (1{,}3 \pm 0{,}1) \frac{\text{мм}}{\text{с}^2}\), по графику 2* \(a = (1{,}3 \pm 0{,}4) \frac{\text{мм}}{\text{с}^2}\).

Тем самым приходим к выводу, что оптимальным способом расчета ускорения является изучение зависимости средней интервальной скорости от времени. Т.е. по изучению зависимости (6).

Часть 2.

Результаты времен прохождения отметок приведены в Таблицах 2 -3, там же приведены результаты расчетов ускорений (по наклону графика) для различных разностей высот крепления нитей. Графики полученных зависимостей показаны на рис. 4

Отметим, что на основании подробного анализа результатов для \(h = 130\) мм достаточно было для каждой разности высот снять показания для 4 точек. Также допустимо рассчитывать ускорения алгебраически «по трем точкам» по формуле, которая следует из формулы (6):

\[a = 2 \frac { v _ { \text{ср.}3 } - v _ { \text{ср.}2 } } { t _ { 3 } - t _ { 1 } } .\tag{7}\]

Расчеты дают близкие результаты, но их точность ниже.

Для получения вполне приличного результата достаточно провести измерения для трех углов наклона.

Таблица 2. Измерения ускорений.

Таблица 2. Измерения ускорений.

График 4. Измерение ускорений График 5. Зависимость ускорения от разности высот

График зависимости ускорения от разности высот точек крепления показан на рис. 5. Как и в случае поступательного движения тела по наклонной плоскости, ускорение пропорционально синусу угла наклона, поэтому зависимость ускорения от разности высот линейная. Наличие постоянной составляющей может быть объяснено присутствием почти постоянной силы трения качения, которая в данном случае может быть заметна из-за неизбежного прогиба нитей.

Аналитически данная зависимость описывается формулой

\[a = Ch + b.\tag{8}\]

где \(C = 0{,}015 \, c^{-2}\), \(b = -0{,}64 \, m \cdot c^{-2}\).

В заключение укажем, что теоретическое значение ускорения оси диска описывается формулой

\[a = 2g \left( \frac{r}{R} \right)^2 \frac{\Delta h}{L},\]

где \(R\), \(r\) - радиусы диска и его оси, соответственно, \(L\) - длина нитей. В нашей установке теоретическое значение параметра \(C = 2 \cdot 10^4 \, \frac{\text{мм}}{c^2} \left( \frac{2{,}8}{120} \right)^2 \frac{1}{10^3 \, \text{мм}} \approx 0{,}011 \, c^{-2}\), что близко к найденному значению.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.