Магнитный резонанс и внешние флуктуации

Происхождение магнитных свойств материала связано с магнитным моментом, возникающим из углового момента его микроскопических составляющих, таких как электроны и ядра. В некоторых материалах крошечные магнитные моменты выстроены вдоль определённого направления, создавая результирующее магнитное поле. Иными словами, материал обладает ненулевой намагниченностью. В других материалах крошечные магнитные моменты ориентированы хаотично, но при помещении материала во внешнее магнитное поле моменты вращаются вокруг направления внешнего поля, и в среднем материал приобретает ненулевую намагниченность. Если выключить внешнее магнитное поле, намагниченность материала может постепенно уменьшаться, пока не вернётся к исходному значению. Это обусловлено взаимодействием между магнитными моментами или их взаимодействием с другими микроскопическими степенями свободы, например колебаниями решётки. Этот процесс называется релаксацией; он будет рассмотрен ниже с помощью моделей классической механики.

Часть A. Вынужденный гармонический осциллятор (\(3{,}6\) балла).

Рассмотрим задачу о ядерной спиновой релаксации, обусловленной случайными флуктуациями других физических степеней свободы, таких как колебания решётки или магнитные дипольные моменты электронов. Чтобы познакомиться со случайностью в решениях классической механической системы, начнём с вынужденного гармонического осциллятора массы \(m\) с угловой частотой \(\omega_0\). Энергия осциллятора меняется из-за действия зависящей от времени внешней силы \[m\frac{d^2q(t)}{dt^2}+m\omega_0^2\,q(t)=F(t), \qquad (1)\] где внешняя сила задана следующей ступенчатой функцией: \[F(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\ +mf_0, & 0\le t<T_0/2,\\ -mf_0, & T_0/2\le t<T_0,\\ 0, & t\ge T_0. \end{cases}\] Здесь \(\omega_0=2\pi/T_0\) — угловая частота осциллятора \(q(t)\). Пусть начальные условия заданы как \(q(0)=A\sin\delta\), \(\dot q(0)=A\omega_0\cos\delta\). До включения внешней силы энергия сохраняется, и её значение \(E_0=\dfrac{m}{2}\omega_0^2A^2\). Без потери общности будем считать \(-\pi\le\delta<\pi\).

A.1 (\(1{,}2\) балла). Найдите положение \(q\) и скорость \(\dot q=\dfrac{dq}{dt}\) при \(t=T_0\). Выразите их через \(A\), \(\delta\), \(f_0\), \(\omega_0\).

A.2 (\(1{,}2\) балла). Рассмотрим полную механическую энергию \(E(t)=\dfrac{m(\dot q^2+\omega_0^2q^2)}{2}\). Вычислите разность \(E(t)\) между \(t=T_0\) и \(t=0\), обусловленную действием внешней силы \(F(t)\). Иными словами, вычислите \(\Delta E\equiv E(t\ge T_0)-E(t\le 0)\) и выразите её через \(A\), \(\delta\), \(f_0\), \(\omega_0\).

A.3 (\(1{,}2\) балла). Пусть \(\delta\) — случайная величина, равномерно распределённая на промежутке \(-\pi\le\delta<\pi\). Иными словами, у нас есть большое число одинаковых вынужденных гармонических осцилляторов, которые все подчиняются одному уравнению (1). Их начальные условия таковы, что \(A\) одинаково, а \(\delta\) выбирается случайно из \(-\pi\le\delta<\pi\). Вычислите статистическое среднее поглощённой энергии \(\langle\Delta E\rangle\), а также второй момент \(\langle(\Delta E)^2\rangle\).

Часть B. Прецессия магнитного дипольного момента и использование переменных вращающейся системы координат (\(6{,}4\) балла).

Энергия магнитного дипольного момента в магнитном поле \(\vec B\) равна \[E=-\vec\mu\cdot\vec B=-\gamma\,\vec S\cdot\vec B.\] Рассматривая бесконечно малый поворот углового момента \(\vec S\) и приравнивая разность энергий произведению момента силы \(\vec\tau\) на угловое перемещение, получаем уравнение для \(\vec S\): \[\vec\tau=\frac{d\vec S}{dt}=\gamma\,\vec S\times\vec B.\] Согласно этому уравнению, при постоянном \(\vec B\) угловой момент \(\vec S\) прецессирует вокруг направления магнитного поля \(\vec B\). Это явление известно как ларморовская прецессия; частота прецессии равна \(\gamma|\vec B|\), и в частности она не зависит от угла между \(\vec S\) и \(\vec B\).

Облучение циркулярно поляризованным светом. Рассмотрим теперь включение осциллирующего магнитного поля в плоскости \(xy\) в дополнение к постоянной составляющей вдоль оси \(z\). Тогда магнитная энергия равна \[E=-\omega_0S_z-\omega_1\cos(\omega_2t)\,S_x-\omega_1\sin(\omega_2t)\,S_y, \qquad (2)\] где \(\omega_0\), \(\omega_1\) определяются соответствующими компонентами магнитного поля и \(\gamma\), а \(\omega_2\) — частота осциллирующего магнитного поля. Считаем, что \(\omega_0\), \(\omega_1\), \(\omega_2\) все положительны. Уравнения для \(\vec S\): \[\dot S_x=+\omega_0S_y-\omega_1\sin(\omega_2t)\,S_z, \qquad \dot S_y=-\omega_0S_x+\omega_1\cos(\omega_2t)\,S_z, \qquad \dot S_z=-\omega_1\cos(\omega_2t)\,S_y+\omega_1\sin(\omega_2t)\,S_x.\] Удобно записать эти уравнения через \(S_\pm\equiv S_x\pm iS_y\): \[\dot S_+=-i\omega_0S_++i\omega_1e^{+i\omega_2t}S_z, \qquad \dot S_-=+i\omega_0S_--i\omega_1e^{-i\omega_2t}S_z, \qquad \dot S_z=\frac{i\omega_1}{2}\bigl(e^{-i\omega_2t}S_+-e^{+i\omega_2t}S_-\bigr).\] Далее введём спин во вращающейся системе, используя \(S_\pm\equiv e^{\pm i\omega_2t}\Sigma_\pm\), \(S_z\equiv\Sigma_z\). Можно показать, что уравнения для \(\Sigma_x\equiv\frac12(\Sigma_++\Sigma_-)\), \(\Sigma_y\equiv\frac i2(\Sigma_--\Sigma_+)\) и \(\Sigma_z\) записываются в виде \[\frac{d}{dt}\vec\Sigma=\vec M\times\vec\Sigma,\] где \(\vec\Sigma=(\Sigma_x,\Sigma_y,\Sigma_z)\) и \(\vec M=(M_x,M_y,M_z)\).

B.1 (\(1{,}5\) балла). Найдите выражения для \(M_x\), \(M_y\), \(M_z\) через \(\omega_0\), \(\omega_1\), \(\omega_2\).

Уравнения дополнительно упрощаются, если рассмотреть статический поворот в плоскости \(xz\) и ввести новые переменные: \[\Sigma_X=\cos\Theta\,\Sigma_x-\sin\Theta\,\Sigma_z, \qquad \Sigma_Y=\Sigma_y, \qquad \Sigma_Z=\sin\Theta\,\Sigma_x+\cos\Theta\,\Sigma_z.\]

B.2 (\(0{,}9\) балла). Выведите уравнения движения для \(\Sigma_X\), \(\Sigma_Y\), \(\Sigma_Z\) и выразите их через \(M_x\), \(M_y\), \(M_z\) и \(\Theta\).

Затем в переменных дважды вращающейся системы уравнения можно привести к виду \[\dot\Sigma_X=+\Omega\,\Sigma_Y, \qquad \dot\Sigma_Y=-\Omega\,\Sigma_X, \qquad \dot\Sigma_Z=0,\] если \(\Omega\) и \(\tan\Theta\) выбраны соответствующим образом.

B.3 (\(1{,}0\) балл). Комбинируя ответы B.1 и B.2, найдите выражения для \(\Omega\) и \(\tan\Theta\) через \(\omega_0\), \(\omega_1\), \(\omega_2\).

Рассмотрим большое число спинов со статистическим распределением начальных конфигураций: при \(t=0\) средние значения удовлетворяют \(\langle S_x(0)\rangle=\langle S_y(0)\rangle=0\) и \(\langle S_z(0)\rangle>0\). Все спины подчиняются одному уравнению, полученному из (2).

B.4 (\(1{,}5\) балла). Вычислите \(\langle S_z(t)\rangle\).

B.5 (\(1{,}5\) балла). Если \(\langle S_z(t)\rangle=0\) при нечётных кратных \(T_1\) (то есть при \(t=T_1,\,3T_1,\,5T_1,\dots\)), а \(\langle S_z(t)\rangle>0\) в остальное время, чему равно \(\omega_1T_1\)?