Задачи › Электромагнитные волны, излучение

Максвелл, Рэлей и Эверест

  1. Максвелл, Рэлей и Эверест

    APhO 2021/22, 11 кл.
    7/10

    Авторы задачи: Амитабх Вирмани (CMI, Ченнаи) и А. С. Бияни (в отставке, Государственный колледж естественных наук имени Нагарджуны, Райпур). Вклад Академического комитета, Группы академического развития и Международного жюри признателен.

    Лорд Рэлей посетил Дарджилинг (Индия) в 1897 году. Глядя на Эверест с расстояния 170 км, он вспомнил вопрос Джеймса Максвелла, заданный 26 годами ранее, об ослаблении света в воздухе и видимости далёких вершин. Через два года, в 1899 году, лорд Рэлей опубликовал известную научную работу, в которой исследовал эту задачу. В данной задаче мы попытаемся восстановить, хотя бы частично, современную версию рассуждений лорда Рэлея.

    Колебания электронного облака. Моделируем типичную нейтральную молекулу воздуха неподвижным положительным зарядом \(q\), окружённым сферическим равномерно заряженным облаком массы \(m\), радиуса \(r\) и заряда \(-q\). Собственная угловая частота колебаний молекулы равна \(\omega_0\). На молекулу падает свет, и отрицательное облако колеблется, сохраняя сферическую форму, с угловой частотой \(\omega\): \[y = y_0\cos(\omega t), \qquad (1)\] под действием электрического поля световой волны \[\vec E(t) = E_0\cos(\omega t)\,\hat\jmath. \qquad (2)\] Здесь \(y\) — расстояние между неподвижным положительным зарядом и центром отрицательного облака молекулы.

    A-1. Запишите уравнение движения для \(y\). Примите, что вклад электрического поля в модуль ускорения равен \(E(t)\,q/m\). (\(0{,}5\) балла)

    A-2. На основании приведённой информации решите уравнение для \(y\). Найдите амплитуду. (\(0{,}5\) балла)

    A-3. Найдите модуль \(p(t)\) дипольного момента молекулы воздуха как функцию времени при \(\omega\ll\omega_0\). (\(0{,}5\) балла)

    A-4. Получите выражение для \(\omega_0\) через \(q\), \(m\) и \(r\). (\(0{,}5\) балла)

    Излучаемая мощность. Синусоидально изменяющийся во времени диполь излучает электромагнитное излучение. Мощность излучения зависит от амплитуды дипольного момента \(p_0 = qy_0\), электрической постоянной вакуума \(\epsilon_0\), скорости света \(c\) и частоты колебаний \(\omega\).

    B-1. Используя размерный анализ, выразите среднюю излучаемую мощность \(s\) через эти величины. (\(1\) балл)

    B-2. Примите коэффициент пропорциональности равным \(1/(12\pi)\). Выразите мощность излучения \(s\) через \(E_0\), \(\omega_0\), \(\omega\) и связанные величины. Считайте \(\omega\ll\omega_0\). (\(0{,}2\) балла)

    Затухание интенсивности \(I(x)\). Напомним, что интенсивность электромагнитной волны равна \[I = \frac12 c\,\epsilon_0E_0^2. \qquad (3)\] Интенсивность уменьшается вдоль пути света, потому что в единице объёма теряется мощность \[S = n_0\,s, \qquad (4)\] где \(n_0\) — число молекул в единице объёма.

    C-1. Составьте дифференциальное уравнение для интенсивности \(I(x)\) как функции расстояния \(x\). (\(1\) балл)

    C-2. Получите выражение для интенсивности \(I(x)\) как функции \(x\) через характерный масштаб длины \(L\), связанный с падением интенсивности. Начальная интенсивность равна \(I_0\). (\(0{,}5\) балла)

    C-3. Считайте \(m\) массой электрона (обычно один электрон составляет облако заряда) и примите \[n_0 = 2{,}54\times10^{25}\ \text{м}^{-3}, \qquad \omega_0 = 1{,}25\times10^{16}\ \text{рад/с}, \qquad \omega = 3{,}25\times10^{15}\ \text{рад/с}.\] Найдите численное значение \(L\) в километрах. (\(0{,}3\) балла)

    Высота гор, видимая наблюдателем. На рисунке точка \(P\) обозначает Дарджилинг, горную станцию в восточных Гималаях на высоте \(h = 2042\) м над уровнем моря. Линия \(BS\) обозначает Эверест, находящийся на расстоянии \(d = 170\) км от Дарджилинга и имеющий высоту \(H = 8848\) м. Другой пик, Канченджанга (на рисунке не показан), находится на расстоянии \(75\) км от Дарджилинга и имеет высоту \(8586\) м.

    Рисунок

    Рисунок 1 — Большой круг, на котором лежат гора \(BS\) высотой \(H\) и наблюдатель \(P\) на высоте \(h\). Рисунок не в масштабе. На рисунке: \(O\) — центр Земли; \(R\) — радиус Земли; \(\theta\) — угол; \(d\) — расстояние; \(h\) — высота; \(H\) — высота горы.

    D-1. Получите выражение и численные значения вертикальной высоты \(H'\) этих гор, видимых наблюдателем из Дарджилинга, через перечисленные величины. Считайте, что наблюдатель не видит ниже местного горизонта. Нарисуйте подходящую схему. Радиус Земли \(R\) примите равным \(6378\) км. (\(2\) балла)

    E-1. Примите интенсивность света от Канченджанги в Дарджилинге за опорное значение. Какова интенсивность света от Эвереста относительно Канченджанги, если смотреть из Дарджилинга? В задаче не учитываем изменение плотности молекул воздуха с высотой. Если интенсивность составляет \(5\,\%\) или более от опорного значения, гора считается видимой. Будет ли виден Эверест из Дарджилинга? (\(1\) балл)

    Длина ослабления \(L_p\) из-за загрязнения аэрозолями. Выше мы вычислили характерную длину \(L\), связанную с падением интенсивности из-за рассеяния на молекулах воздуха. Теперь нас интересует характерная длина \(L_p\), связанная с падением интенсивности из-за рассеяния на аэрозольных частицах (загрязнении). \(L_p\) зависит от концентрации частиц \(n\) и площади поперечного сечения \(\pi r^2\) аэрозольной частицы радиуса \(r\). Получите эту зависимость, используя физические соображения и размерный анализ. Безразмерную константу примите равной \(1/8\). При умеренном загрязнении средняя плотность аэрозолей в Дарджилинге равна \(\rho_p = 5\) мкг/м\(^3\), а их средний радиус равен \(500\) нанометров. Какова длина \(L_p\)? Плотность отдельной аэрозольной частицы \(\rho = 3\) г/см\(^3\). Напомним, \(1\) мкг \(=10^{-9}\) кг, \(1\) нм \(=10^{-9}\) м.

    F-1. Найдите \(L_p\). (\(1\) балл)

    G-1. Оцените относительную интенсивность Канченджанги и Эвереста при указанном уровне загрязнения относительно опорного значения. Какие из этих пиков, если вообще какие-либо, будут видны из Дарджилинга? Считайте, что загрязнение однородно по всему пути света. (\(1\) балл)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Ослабление складывается из двух независимых вкладов: рассеяния на молекулах воздуха (длина \(L\)) и рассеяния на аэрозолях (длина \(L_p\)). В экспоненте они входят как сумма \(d/L + d/L_p\), а геометрия учитывается через кривизну Земли.

    Ответ

    A-1) \(\ddot y = -\omega_0^2y - \dfrac{qE_0}{m}\cos\omega t\);  A-2) \(y_0 = \dfrac{qE_0/m}{\omega^2-\omega_0^2}\);  A-3) \(p(t) = qy(t) \approx \dfrac{q^2E_0}{m\omega_0^2}\cos\omega t\);  A-4) \(\omega_0 = \dfrac{q}{\sqrt{4\pi\epsilon_0 m r^3}}\);  B-1) \(s = k\,\dfrac{p_0^2\omega^4}{\epsilon_0c^3}\);  B-2) \(s = \dfrac{1}{12\pi}\,\dfrac{q^4E_0^2}{m^2\epsilon_0c^3}\,\dfrac{\omega^4}{\omega_0^4}\);  C-1) \(-\dfrac{dI}{dx} = n_0 s\);  C-2) \(I(x) = I_0e^{-x/L}\), \(L = \dfrac{6\pi\epsilon_0^2m^2c^4}{n_0q^4}\left(\dfrac{\omega_0}{\omega}\right)^4\);  C-3) \(L\approx130\) км;  D-1) \(H' = R+h-\dfrac{(R+h)^2}{R+H}\sec\theta \approx R+h-\dfrac{(R+h)^2}{R+H}\left(1+\dfrac{d^2}{2R^2}\right)\); для Канченджанги \(H'\approx 6096\) м, для Эвереста \(H'\approx4534\) м;  E-1) \(I_{\text{Эверест}}/I_{\text{Канченджанга}}\approx0{,}093\); Эверест виден;  F-1) \(L_p = \dfrac{1}{8n\pi r^2} = \dfrac{r\rho}{6\rho_p}\approx50\) км;  G-1) \(I_K/I_{\text{ref}}\approx0{,}22\) — Канченджанга видна; \(I_E/I_{\text{ref}}\approx0{,}003\) — Эверест не виден.

    Решение

    A-1. \(E(t)\) — электрическое поле в месте молекулы. Уравнение движения заряда без \(\vec E(t)\) есть \(\ddot y = -\omega_0^2y\); при вынужденных колебаниях \[\ddot y = -\omega_0^2y - \frac{qE_0}{m}\cos\omega t. \qquad (2)\]

    A-2. Подставляя \(y = y_0\cos\omega t\) в (2), получаем \[-\omega^2y_0 = -\omega_0^2y_0 - \frac{qE_0}{m}, \qquad (3)\] откуда амплитуда колебаний \[y_0 = \frac{qE_0/m}{\omega^2-\omega_0^2}. \qquad (4)\]

    A-3. Поскольку \(y\) — расстояние между зарядами, модуль дипольного момента равен \[p(t) = qy(t) \approx \frac{q^2E_0}{m\omega_0^2}\cos\omega t. \qquad (5)\]

    A-4. Атом моделируем как неподвижный положительный точечный заряд \(q\), окружённый сферическим отрицательным облаком полного заряда \(-q\), радиуса \(r\) и массы \(m\). При смещении облака на малое расстояние \(y\) электростатическая сила со стороны центрального положительного заряда равна \[\vec F_{\text{эл}} = m\ddot y\,\hat\jmath = -\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0r^3}\,y\,\hat\jmath = -m\omega_0^2y\,\hat\jmath, \qquad (6)\] откуда собственная частота колебаний \[\omega_0 = \frac{q}{\sqrt{4\pi\epsilon_0mr^3}}. \qquad (7)\]

    Рисунок

    Рисунок к решению A-4 — модель атома: облако заряда \(-q\) радиуса \(r\) смещено на \(y\) относительно заряда \(+q\). На рисунке: \(-q\), \(+q\) — заряды; \(r\) — радиус облака; \(y\) — смещение; \(\hat\jmath\), \(\hat\imath\) — единичные векторы.

    B-1. Размерности: \([s] = \text{кг}\cdot\text{м}^2\cdot\text{с}^{-3}\), \([p_0] = \text{Кл}\cdot\text{м}\), \([\omega] = \text{с}^{-1}\), \([\epsilon_0] = \text{Кл}^2\cdot\text{Н}^{-1}\cdot\text{м}^{-2} = \text{Кл}^2\cdot\text{кг}^{-1}\cdot\text{м}^{-3}\cdot\text{с}^2\), \([c] = \text{м}\cdot\text{с}^{-1}\). Пусть \(s = p_0^{\alpha}\omega^{\beta}\epsilon_0^{\gamma}c^{\delta}\). Приравнивая показатели, получаем \(\alpha=2\), \(\beta=4\), \(\gamma=-1\), \(\delta=-3\), то есть \[s = k\,\frac{p_0^2\omega^4}{\epsilon_0c^3}. \qquad (8)\]

    B-2. Подставляя \(p_0 = qy_0\) и \(y_0 \approx q E_0/(m\omega_0^2)\) при \(\omega\ll\omega_0\), получаем \[s = \frac{1}{12\pi}\,\frac{q^2y_0^2\omega^4}{\epsilon_0c^3} = \frac{1}{12\pi}\,\frac{q^4E_0^2}{m^2\epsilon_0c^3}\,\frac{\omega^4}{\omega_0^4}. \qquad (9)\]

    C-1. Рассмотрим горизонтальный столб атмосферы сечения \(A\) и длины \(\Delta x\). Пусть падающая интенсивность равна \(I(x)\), а прошедшая — \(I(x+\Delta x)\). Падение интенсивности обусловлено рассеянием света на молекулах воздуха. Если концентрация молекул равна \(n_0\), то полная излучаемая мощность в единице объёма равна \(n_0 s\). Тогда \[I(x)A - I(x+\Delta x)A = n_0 s\,(A\Delta x), \qquad (10)\] откуда \[-\frac{dI}{dx} = n_0 s. \qquad (11)\]

    C-2. Так как \(s\propto E_0^2\) и \(I\propto E_0^2\), имеем \[-\frac{dI}{dx} = \frac{I}{L}, \qquad (12)\] где \[L = \frac{6\pi\epsilon_0^2m^2c^4}{n_0q^4}\left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^4. \qquad (13)\] Решение дифференциального уравнения: \(I(x) = I_0e^{-x/L}\).

    C-3. Подставляя числа, получаем \(L\approx130\) км.

    D-1. В треугольнике \(OPB'\) имеем \(OB' = OP\sec\theta = (R+h)\sec\theta\). Так как \(\angle OSP = \angle B'SS'\) и \(\angle SOP = \angle SB'S'\), треугольники \(OSP\) и \(B'SS'\) подобны. Отсюда \[\frac{B'S'}{OP} = \frac{B'S}{OS} = \frac{OS-OB'}{OS} = 1-\frac{OB'}{OS}.\] С учётом \(B'S' = H'\), \(OP = R+h\), \(OS = R+H\): \[\frac{H'}{R+h} = 1 - \frac{(R+h)\sec\theta}{R+H}, \qquad H' = R+h-\frac{(R+h)^2}{R+H}\sec\theta. \qquad (14)\] Так как \(\cos\theta\approx1-\theta^2/2\) и \(\theta = d/R\), получаем \[H' \simeq R+h-\frac{(R+h)^2}{R+H}\left(1+\frac{d^2}{2R^2}\right). \qquad (15)\] Численно: \(H' = 6096\) м для Канченджанги и \(H' = 4534\) м для Эвереста. Альтернативная запись: \(H' = H-h-\dfrac{d^2}{2R}\).

    Рисунок

    Рисунок к решению D-1 — большой круг с горой \(BS\) высотой \(H\), наблюдатель \(P\) на высоте \(h\), точка \(B'\) — видимая вершина, \(S'\) — проекция. Рисунок не в масштабе.

    E-1. В точке наблюдения интенсивность, которая была бы без ослабления, равна \(I_0 = P_0/(4\pi d^2)\), так что \[I = \frac{P_0}{4\pi d^2}\exp\left[-\frac{d}{L}\right]. \qquad (16)\] Относительная интенсивность Эвереста по отношению к Канченджанге: \[\frac{I_{\text{Эверест}}}{I_{\text{Канченджанга}}} = \frac{d_{\text{Канч}}^2}{d_{\text{Эверест}}^2}\exp\left[-\frac{d_{\text{Эверест}}-d_{\text{Канч}}}{L}\right] = 0{,}093.\] Так как \(0{,}093 > 0{,}05\), Эверест виден из Дарджилинга.

    F-1. Длина ослабления из-за аэрозолей \[L_p = \frac{1}{8n\pi r^2}. \qquad (17)\] Здесь \(n = \rho_p/m\) и \(m = \dfrac{4\pi}{3}r^3\rho\). Отсюда \[L_p = \frac{r\rho}{6\rho_p}.\] Подставляя \(r = 500\times10^{-9}\) м, \(\rho = 3\times10^{3}\) кг/м\(^3\), \(\rho_p = 5\times10^{-9}\) кг/м\(^3\), получаем \(L_p = 50\) км.

    G-1. Новое выражение для ослабления интенсивности: \[I = \frac{P_0}{4\pi d^2}\exp\left[-\frac{d}{L}-\frac{d}{L_p}\right].\] Для Канченджанги \[\frac{I_K}{I_{\text{ref}}} = \exp\left[-\frac{d_K}{L_p}\right] = 0{,}22.\] Интенсивность снижается до \(22\,\%\) от опорного значения, поэтому Канченджанга будет видна из Дарджилинга. Для Эвереста \[\frac{I_E}{I_{\text{ref}}} = 0{,}093\cdot\exp\left[-\frac{d_E}{L_p}\right] = 0{,}093\times0{,}033 = 0{,}003.\] Интенсивность снижается до \(0{,}3\,\%\) от опорного значения, поэтому Эверест из Дарджилинга видно не будет.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх