Механическая модель фазовых переходов

Подсказка

Для B-пунктов достаточно записать тангенциальную компоненту уравнения движения при \(\ddot\theta = 0\) и найти нули правой части. Потенциал получается интегрированием \(F_\theta\); разложение по малым \(\theta\) дает коэффициенты \(a\) и \(b\).

Решение

A-1. Радиальная компонента: \[mR\dot\theta^2 = N - mg\cos\theta - mR\sin^2\theta\,\omega^2 \qquad (1)\] Касательная компонента: \[mR\ddot\theta = mR\sin\theta\cos\theta\,\omega^2 - mg\sin\theta - \operatorname{sgn}(\dot\theta)\,kN \qquad (2)\] или, в обозначениях \(f\): \[mR\ddot\theta = mR\sin\theta\cos\theta\,\omega^2 - mg\sin\theta - fkN, \quad f=1. \qquad (3)\]

B-1. Полагаем \(k=0\) в касательной компоненте силы: \[mR\ddot\theta = mR\sin\theta\cos\theta\,\omega^2 - mg\sin\theta \qquad (4)\] Для равновесия \(\ddot\theta_0 = 0\). Тогда \(\theta_0 = 0\) — угол равновесия при всех \(\omega\). Остальные значения находятся из \[\cos\theta_0 = \frac{g}{\omega^2R} = \frac{\omega_c^2}{\omega^2} \qquad (5)\] \[\theta_0 = \pm\left|\cos^{-1}\frac{\omega_c^2}{\omega^2}\right| \qquad (6)\] со значениями \(\theta_0\) в интервале от \(-\pi/2\) до \(\pi/2\). Знак \(\pm\) означает два равноправных положения: бусинка может подняться с любой стороны от оси. При \(\omega<\omega_c\) из (5) следует \(\cos\theta_0>1\), что физически невозможно; поэтому \(\theta_0=0\) при \(\omega<\omega_c\).

B-2. Эскиз \(\theta_0\) как функции \(\omega/\omega_c\) приведён на рисунке ниже: при \(\omega<\omega_c\) \(\theta_0=0\); при \(\omega>\omega_c\) есть две ветви \(\pm\theta_0\).

B-3. Эскиз величины нормальной реакции в устойчивом равновесии приведён ниже. При \(\omega<\omega_c\) имеем \(N = mg\); при \(\omega>\omega_c\) имеем \(N = m\omega^2R\) (это следует из (1) с учётом (5)).

B-4. Интегрируя (4) с \(V(0)=0\): \[-R\int_0^\theta F_\theta\,d\theta = \int_0^V dV = V.\] Подставляя \(F_\theta\) из (4), левая часть равна \[-R\int_0^\theta F_\theta\,d\theta = -\frac{m\omega^2R^2}{2}\int_0^\theta\sin2\theta\,d\theta + mgR\int_0^\theta\sin\theta\,d\theta = \frac{m\omega^2R^2}{4}\big(\cos2\theta-1\big) - mgR\big(\cos\theta-1\big),\] а с учётом \(\cos2\theta-1 = -2\sin^2\theta\) и \(\omega_c^2 = g/R\) получаем, откуда \[V(\theta) = mgR\left[(1-\cos\theta) - \frac{\omega^2}{2\omega_c^2}\sin^2\theta\right]. \qquad (9)\] Отсюда \(P = mgR\), \(Q = -mgR\), \(S = -\dfrac{\omega^2}{2\omega_c^2}\,mgR\). Тот же результат получается дифференцированием \(V = P+Q\cos\theta+S\sin^2\theta\) и сравнением с \(F_\theta\).

B-5. Используя разложения, сохраняя члены до \(\theta^4\): \[V(\theta) \approx mgR\left[\frac{\theta^2}{2}-\frac{\theta^4}{24} - \frac{\omega^2}{2\omega_c^2}\left(\theta-\frac{\theta^3}{6}\right)^2\right] = \frac{mgR}{2}\left(1-\frac{\omega^2}{\omega_c^2}\right)\theta^2 + \frac{mgR}{6}\left(\frac{\omega^2}{\omega_c^2}-\frac14\right)\theta^4.\] Отсюда \(a(\omega)\) и \(b(\omega)\) как в ответе. B-6. Качественные графики \(V(\theta)\) приведены ниже. При \(\omega<\omega_c\) потенциал имеет один минимум при \(\theta=0\) (красная кривая). При \(\omega>\omega_c\) в точке \(\theta=0\) — максимум, а минимумы — при \(\pm\theta_0\) (синяя кривая). Ниже приведены графики при \(\theta\in[-\pi/2,\pi/2]\) и \(\theta\in[-\pi,\pi]\). На рисунке: \(\omega<\omega_c\) — красная кривая, \(\omega>\omega_c\) — синяя кривая; \(-\theta_0\), \(\theta_0\) — положения минимумов.

B-7. Решение 1. При \(\omega\to\omega_c^+\) \(\theta_0\) близко к нулю. Разлагая косинус в (5), получаем \(1-\dfrac{\theta_0^2}{2} = \dfrac{\omega_c^2}{\omega^2}\), откуда \[\theta_0 = \pm\sqrt2\left[1-\frac{\omega_c^2}{\omega^2}\right]^{1/2}.\] При \(\omega\to\infty\) имеем \(\theta_0\to\pm\pi/2\). Аналогия с фазовым переходом: роль \(\mathcal M\) играет \(\theta_0\), а температура обратно пропорциональна \(\omega\). Итого: \[\mathcal M \to \theta_0, \qquad T_c \to \frac{1}{\omega_c^2}, \qquad \frac{T}{T_c} \to \frac{\omega_c^2}{\omega^2}.\] Эквивалентное значение \(\beta\) для бусинки равно \(1/2\).

Решение 2. При \(\omega>\omega_c\) \(\cos\theta_0 = \omega_c^2/\omega^2\). Используя \(\sin^2\theta_0 = 1-\cos^2\theta_0\), получаем \(\sin\theta_0 = \left(1-\omega_c^4/\omega^4\right)^{1/2}\). Аналогия: \(\mathcal M \to \sin\theta_0\) (или \(\theta_0\) при малом угле), \(T_c \to 1/\omega_c^4\), \(T/T_c \to \omega_c^4/\omega^4\). Эквивалентное значение \(\beta\) равно \(1/2\).

Замечание: показатель затухания намагниченности \(1/2\) как в нашем случае, так и в теории Ландау, но в эксперименте и в более сложных теориях показатель равен \(1/3\).

B-8. Частота колебаний бусинки около «равновесного» положения \(\theta_0\): \[\Omega_0 = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{V''(\theta_0)}{m}}.\] Вторая производная потенциала: \[V''(\theta) = mgR\cos\theta\left[1-\frac{\omega^2}{\omega_c^2}\cos\theta\right] + mgR\frac{\omega^2}{\omega_c^2}\sin^2\theta.\] Для \(\theta_0 = \pm\cos^{-1}(\omega_c^2/\omega^2)\) при \(\omega>\omega_c\): \[V''(\theta_0) = mgR\,\frac{\omega^2}{\omega_c^2}\left(1-\frac{\omega_c^4}{\omega^4}\right) > 0.\] Для \(\omega<\omega_c\) \(\theta_0 = 0\), и из последнего соотношения получаем \[\Omega_0 = \left(\omega_c^2-\omega^2\right)^{1/2}.\] Аналогично для \(\omega>\omega_c\): \[\Omega_0 = \omega\left(1-\frac{\omega_c^4}{\omega^4}\right)^{1/2}.\]

B-9. График \(\Omega_0\) в зависимости от \(\omega\) приведён ниже. При \(\omega<\omega_c\) (красная кривая) \(\Omega_0\) убывает от \(\omega_c\) до \(0\); при \(\omega>\omega_c\) (синяя кривая) \(\Omega_0\) растёт от \(0\) и при больших \(\omega\) стремится к прямой \(\Omega_0=\omega\) (пунктир).

C-1. Подставляем выражение для нормальной реакции (1) в угловое уравнение (3) и получаем \[mR\ddot\theta = mR\sin\theta\cos\theta\,\omega^2 - mg\sin\theta - fk\left(mg\cos\theta + mR\sin^2\theta\,\omega^2 + mR\dot\theta^2\right).\] Используя \(\omega_c^2 = g/R\) и перегруппировывая члены, имеем \[\ddot\theta = \omega_c^2\left[\left(\sin\theta\right)\left(\cos\theta-fk\sin\theta\right)\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2 - \sin\theta - fk\cos\theta - fk\left(\frac{\dot\theta}{\omega_c}\right)^2\right].\] В равновесии \(\dot\theta=0\), \(\ddot\theta=0\), а \(f=\operatorname{sgn}(\dot\theta)=\pm1\) зависит от того, как было достигнуто равновесие. Для \(\theta_0\in(-\pi/2,\pi/2)\) получаем \[\sin\theta_0\left(\cos\theta_0-fk\sin\theta_0\right)\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2 = \sin\theta_0 + fk\cos\theta_0.\] При \(f=1\) и \(k=\tan\alpha\) это записывается в виде \[\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2 = \frac{\sin\theta_0+\tan\alpha\cos\theta_0}{\sin\theta_0\left(\cos\theta_0-\tan\alpha\sin\theta_0\right)} = \frac{\tan(\theta_0+\alpha)}{\sin\theta_0}.\] Таким образом, \(x = \theta_0+\alpha\), \(y = \theta_0\).

C-2. Так как \(k = 0{,}05\) мало, \(\alpha\approx k\), \(\sin\theta_0\approx\theta_0\), \(\tan(\theta_0+\alpha)\approx\theta_0+\alpha\), поэтому \[\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2 \approx 1 + \frac{k}{\theta_0}.\] Получаем:

1. при \(\omega/\omega_c = 0{,}50\): \(\theta_0 \approx -0{,}07\) рад;

2. при \(\omega/\omega_c = 0{,}70\): \(\theta_0 \approx -0{,}1\) рад.

Кривая перестаёт быть симметричной относительно нуля.