Гантель

Стержень не напряжён, значит, шайба \(m_2\) в этот момент не ускоряется. В системе отсчёта, связанной с ней, шайба \(m_1\) движется по окружности радиуса \(L\).

Рассмотрим момент времени \(\tau\). Так как стержень не напряжён, то ускорение груза с массой \(m_2\) равно нулю. Если выбрать инерциальную систему отсчёта, в которой эта шайба (с массой \(m_2\)) в данный момент имеет нулевую скорость, то шайба с массой \(m_1\) в этот момент движется по траектории, радиус кривизны которой равен \(L\). Проекция ускорения шайбы \(m_1\) на стержень в этот момент равна \(\dfrac{F\cos\alpha}{m_1}\), и эта же проекция равна \(\omega^2 L\). Значит, угловая скорость вращения стержня в этот момент времени: \[\omega = \sqrt{\frac{F\cos\alpha}{m_1 L}}.\]

Найдём угловое ускорение. За небольшой промежуток времени после начала действия силы шайба, к которой приложена сила, сместится в направлении, перпендикулярном первоначальному направлению расположения стержня, на малое расстояние \[dL_{\text{попер}} = \frac{F\sin\alpha\, t^2}{m_1}\cdot\frac{1}{2}.\] Следовательно, стержень повернётся на малый угол, равный \[d\varphi = \frac{dL_{\text{попер}}}{L} = \frac{F\sin\alpha\, t^2}{m_1 L}\cdot\frac{1}{2}.\] Так как в условии сказано, что угловое ускорение стержня является постоянным, то \(d\varphi = \beta\,\dfrac{t^2}{2}\), отсюда получаем угловое ускорение \[\beta = \frac{F\sin\alpha}{m_1 L}.\] Так как угловое ускорение постоянно, то \(\omega = \beta\tau\), откуда \[\tau = \sqrt{\frac{m_1 L\cos\alpha}{F\sin^2\alpha}}.\] Угол поворота стержня к моменту времени \(\tau\) равен \[\varphi = \frac{\beta\tau^2}{2} = \frac{\mathrm{ctg}\,\alpha}{2}.\]