Оцени и докажи

Используйте симметрию сетки: токи, вытекающие из узла, одинаковы по модулю. Затем запишите правила Кирхгофа для узлов \(B\) и \(D\) и получите двусторонние неравенства для тока в звене \(BC\).

Из соображений симметрии очевидно, что из узла \(A\) ток разбежится поровну по 4 возможным направлениям (рис. 30). Значит, \(I_1 = I/4\). В узле \(B\) ток делится на 3 части. Из соображений симметрии понятно, что ток, бегущий вправо, будет равен току, бегущему влево. Обозначим эти токи \(I_2\), а оставшийся ток \(I_3\). Из соображений симметрии относительно прямой \(AC\) следует, что по звену \(FC\) тоже течёт ток \(I_2\). Также из симметрии следует, что токи, вытекающие из узла \(C\) вверх и вправо, равны друг другу. Учитывая, что в узел \(C\) втекает ток \(2I_2\), получаем, что вытекающие из него токи тоже равны \(I_2\).

Для узла \(B\): \(I_1 = I/4 = 2I_2 + I_3 \Rightarrow I_3 = I/4 - 2I_2\).

Напряжение между узлами \(B\) и \(E\) можно посчитать двумя способами: \(I_3 R + I_4 R = I_2 R + I_2 R \Rightarrow I_4 = 2I_2 - I_3\).

Для узла \(D\): \(I_3 = 2I_4 + I_5\). Так как \(I_5 > 0\), то \(I_3 > 2I_4\). Преобразуем: \(I_3 > 2(2I_2 - I_3) \Rightarrow 3I_3 > 4I_2 \Rightarrow 3\left(\frac{I}{4} - 2I_2\right) > 4I_2 \Rightarrow I_2 < \frac{3}{40}I\).

С другой стороны, \(I_4 > 0 \Rightarrow 2I_2 - I_3 > 0 \Rightarrow 2I_2 - \frac{I}{4} + 2I_2 > 0 \Rightarrow I_2 > \frac{I}{16}\).

Значит, \(\frac{1}{16}I < I_2 < \frac{3}{40}I\), или \(\frac{10}{160}I < I_2 < \frac{12}{160}I\). Окончательно получаем \(I_2 = \left(\frac{11}{160} \pm \frac{1}{160}\right)I\). Погрешность оценки составляет \(1/11 \approx 9\%\).