Поканальное движение

Введите координаты \(x\) и \(y\) частиц относительно точки пересечения каналов. Какая величина сохраняется, если расстояние между частицами постоянно?

Введём оси координат \(XY\) с началом в точке пересечения каналов \(O\), направленные вдоль них (рис. 26). Если \(x\) и \(y\) — координаты частиц, то при неизменности расстояния между ними имеем \[x^2 + y^2 = R^2.\] При неизменности расстояния, а значит, и потенциальной энергии, из закона сохранения энергии следует, что сумма квадратов скоростей шариков неизменна: \[v_x^2 + v_y^2 = \text{const}.\]

Для ускорений шариков из второго закона Ньютона и закона Кулона: \[a_x = -\frac{kq^2 x}{mR^3} \quad\text{и}\quad a_y = -\frac{kq^2 y}{mR^3},\] поскольку поперечные каналам проекции кулоновской силы уравновешиваются силами нормальной реакции опоры, а сил трения нет.

Рассмотрим воображаемую «квазичастицу» массой \(m\), движущуюся в плоскости \(XY\). Пусть координаты частицы равны координатам \(x\) и \(y\) наших шариков. Пусть на частицу действует сила \(kq^2/R^2\), направленная к точке \(O\). Тогда проекции ускорения квазичастицы в точности равны ускорениям исходных частиц \(a_x\) и \(a_y\). Учитывая, что и координаты «квазичастицы» равны координатам исходных частиц, получим, что движение «квазичастицы» по окружности радиуса \(R\) эквивалентно движению исходных частиц. Заметим, что скорость движения квазичастицы по окружности \(v\) постоянна, так как \(v^2 = v_x^2 + v_y^2\).

Для центростремительного ускорения квазичастицы из выражений для проекций ускорения имеем: \[\frac{v^2}{R} = \frac{kq^2}{mR^2},\] откуда для искомой кинетической энергии \[\frac{m(v_x^2 + v_y^2)}{2} = \frac{mv^2}{2} = \frac{kq^2}{2R}.\]