Тонкая плоская пластинка из диэлектрика в форме ромба со стороной \(a\) и острым углом \(60^\circ\) заряжена однородно с поверхностной плотностью заряда \(\sigma\). Потенциал в вершине острого угла ромба равен \(\varphi_1\), в вершине тупого — \(\varphi_2\) (рис. 7). Из такого же диэлектрика вырезают тонкую пластинку в форме равностороннего треугольника \(ABC\) со стороной \(2a\) и заряжают её с такой же поверхностной плотностью заряда (рис. 8). Определите потенциал в точке \(C\) треугольной пластинки. Определите потенциал в точке \(D\), лежащей на середине стороны треугольной пластинки. Теперь из треугольной пластинки \(ABC\) удаляют правильный треугольник со стороной \(a\) (рис. 9). Определите потенциал в точке \(D'\) «дырявой» пластинки. Определите потенциал в точке \(C'\) «дырявой» пластинки. Примечание. Все пластины удалены друг от друга и других тел.

1) \(\varphi_C = \varphi_2\); 2) \(\varphi_D = \varphi_1 + \varphi_2\); 3) \(\varphi'_{D'} = \varphi_1 + \dfrac{\varphi_2}{2}\); 4) \(\varphi'_{C'} = \dfrac{3}{2}\varphi_2 - \varphi_1\).

Заряженная пластинка — ВсОШ 2018/19, 10 кл., задача 4

Заряженная пластинка
ВсОШ 2018/19, 10 кл.
6/10
Тонкая плоская пластинка из диэлектрика в форме ромба со стороной \(a\) и острым углом \(60^\circ\) заряжена однородно с поверхностной плотностью заряда \(\sigma\). Потенциал в вершине острого угла ромба равен \(\varphi_1\), в вершине тупого — \(\varphi_2\) (рис. 7). Из такого же диэлектрика вырезают тонкую пластинку в форме равностороннего треугольника \(ABC\) со стороной \(2a\) и заряжают её с такой же поверхностной плотностью заряда (рис. 8).
1. Определите потенциал в точке \(C\) треугольной пластинки.
2. Определите потенциал в точке \(D\), лежащей на середине стороны треугольной пластинки.
Теперь из треугольной пластинки \(ABC\) удаляют правильный треугольник со стороной \(a\) (рис. 9).
1. Определите потенциал в точке \(D'\) «дырявой» пластинки.
2. Определите потенциал в точке \(C'\) «дырявой» пластинки.
Примечание. Все пластины удалены друг от друга и других тел.
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Используйте принцип суперпозиции и разбейте треугольник на четыре треугольника со стороной \(a\): их потенциалы в вершинах связаны с \(\varphi_2\) простым соотношением.
Ответ
1) \(\varphi_C = \varphi_2\); 2) \(\varphi_D = \varphi_1 + \varphi_2\); 3) \(\varphi'_{D'} = \varphi_1 + \dfrac{\varphi_2}{2}\); 4) \(\varphi'_{C'} = \dfrac{3}{2}\varphi_2 - \varphi_1\).
Решение
По принципу суперпозиции потенциал \(\varphi_2\) равен удвоенному потенциалу вершины равносторонней треугольной пластины со стороной \(a\) и поверхностной плотностью заряда \(\sigma\). Если размеры пластины увеличить в 2 раза, сохранив поверхностную плотность заряда, то потенциал каждой точки тоже увеличится в 2 раза. Для доказательства этого факта можно разбить исходную пластинку на маленькие части, которые можно считать точечными зарядами. В результате масштабирования площадь каждой части увеличится в 4 раза, а значит, и заряд вырастет в 4 раза, а расстояние до каждой части увеличится в 2 раза. Учитывая, что потенциал точечного заряда равен \(\dfrac{kq}{r}\), получим, что потенциал, создаваемый каждой маленькой частью, увеличится в 2 раза, значит, и общий потенциал вырастет вдвое. Значит, потенциал точки \(C\) в 2 раза больше потенциала вершины пластины со стороной \(a\), \(\varphi_C = \varphi_2\).

Найдём потенциал точки \(D\). Для этого мысленно разобьём треугольник на 4 треугольника со сторонами \(a\). Заметим, что \(AEDF\) — это исходный ромб, который создаёт в точке \(D\) потенциал \(\varphi_1\). К нему нужно добавить потенциалы, создаваемые треугольниками \(BDE\) и \(DFC\). Потенциал каждого из них в вершине равен \(\varphi_2/2\). Отсюда \(\varphi_D = \varphi_1 + \varphi_2\).

После удаления центрального треугольника потенциал в точке \(D\) уменьшился на \(\varphi_2/2\) и стал равен \(\varphi'_D = \varphi_1 + \varphi_2/2\).

Для нахождения потенциала точки \(C\) «дырявой» пластинки нужно узнать, какой потенциал создавал в ней треугольник \(DEF\). Рассмотрим ромб \(CFED\). Его потенциал в точке \(C\) равен \(\varphi_1\) и складывается из потенциала, создаваемого треугольником \(DEF\), и потенциала, создаваемого треугольником \(FDC\), равного \(\varphi_2/2\). Тогда треугольник \(DEF\) создаёт в точке \(C\) потенциал \(\varphi_1 - \varphi_2/2\). Значит, после удаления центрального треугольника потенциал точки \(C\) станет равным \[\varphi'_C = \varphi_2 - \left(\varphi_1 - \frac{\varphi_2}{2}\right) = \frac{3}{2}\varphi_2 - \varphi_1.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Заряженная пластинка

Заряженная пластинка

Похожие задачи