Капли и металлический шар

Максимальное количество капель, попавших в отверстие шара, ограничивается его объёмом: \[n_1 = \dfrac{(4/3)\pi R^3}{(4/3)\pi r^3} = \left(\dfrac{R}{r}\right)^3 = 1{,}25\cdot10^5.\] Заряд, накапливающийся в шаре по мере падения капель, отталкивает вновь падающие капли. Обозначим через \(Q = n_2q\) заряд шара, здесь \(n_2\) — число капель, попавших в шар. Запишем закон сохранения энергии: \[mgh + k\dfrac{qQ}{R+h} = \dfrac{mv^2}{2} + k\dfrac{qQ}{R},\] где \(m = (4/3)\pi r^3\rho\) — масса капли, \(\rho = 10^3\) кг/м\(^3\) — плотность воды, \(v\) — скорость капли при попадании в отверстие шара, \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\). При условии, когда \(Q_0\) максимален, скорость \(v = 0\), и тогда \[mgh + k\dfrac{qQ_0}{R+h} = k\dfrac{qQ_0}{R}.\] Отсюда получаем \[Q_0 = \dfrac{mgR(R+h)}{kq} \approx 1{,}9\cdot10^{-6}\text{ Кл}.\] Проверим, уместятся ли в шаре все капли, несущие такой заряд:

\[n_{2\max} = \dfrac{mgR(R+h)}{ky^2}\approx 1{,}06\cdot10^5 < n_1.\]