Архив лорда Кельвина

Какой процесс на графике «\(C\) от абсциссы» изображается точкой? Какой процесс имеет теплоёмкость \(2R\) — найдите связь между \(p\) и \(V\) для него. Затем сравните КПД для двух возможных вариантов абсциссы.

Заметим, что цикл состоит из трёх процессов с теплоёмкостями \(\frac{5}{2}R\), \(\frac{3}{2}R\) и \(2R\). Значит, первые два процесса соответственно — изохорический, изобарический.

Выясним, какой процесс имеет теплоёмкость \(2R\): \[C = \frac{dQ}{dT} = \frac{\frac{3}{2}(P\,dV + V\,dP) + P\,dV}{\frac{1}{R}(P\,dV + V\,dP)} = 2R,\] откуда получим \(P\,dV = V\,dP\) или \(\dfrac{P}{V} = \dfrac{dP}{dV}\), что соответствует процессу, в котором давление пропорционально объёму.

Заметим, что изохорический процесс на графике условия представлен в виде точки, что означает, что по оси абсцисс отложен объём или плотность. Рассмотрим вариант, где по оси абсцисс отложен объём. Тогда, используя тот факт, что один из процессов — это изобарическое расширение и что изохорический процесс происходит при наименьшем значении объёма на изобаре, получаем следующий вид цикла (рис. 27).

Найдём его КПД, обозначив минимальные давление и объём за \(P_0\) и \(V_0\): \[\eta = \frac{A}{Q_{\text{пол}}} = \frac{\frac{1}{2}\cdot 2P_0\cdot 2V_0} {\frac{3}{2}(3P_0\cdot 3V_0 - P_0V_0) + 3P_0\cdot 2V_0} = \frac{2P_0V_0}{18P_0V_0} = \frac{1}{9}.\]

Если по оси абсцисс графика из условия отложены \(\rho\) или \(1/V\), то соответствующий график процесса представлен на рисунке (рис. 28). Рассчитаем КПД цикла в этом случае: \[\eta = \frac{A}{Q_{\text{пол}}} = \frac{\frac{1}{2}\cdot 2P_0\cdot 2V_0} {\frac{3}{2}(3P_0\cdot 3V_0 - P_0V_0) + \frac{P_0 + 3P_0}{2}\cdot 2V_0} = \frac{2P_0V_0}{16P_0V_0} = \frac{1}{8}.\]

Таким образом, максимальный КПД цикла равен \(\dfrac{1}{8}\).