Трассировка лучей и генерация запутанных фотонов

Пусть \(\vec{E}\) – напряженность электрического поля, \(\vec{H}\) – напряженность магнитного поля, \(\vec{D}\) – электрическая индукция, \(\vec{B}\) – индукция магнитного поля. Известно, что \(\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\), где \(\vec{P}\) – вектор поляризации вещества, \(\epsilon_0\) – электрическая постоянная. Будем рассматривать только немагнитные вещества, для них \(\vec{B}=\mu_0 \vec{H}\), где \(\mu_0\) – магнитная постоянная. Плотность энергии электромагнитного поля вычисляется по формуле \(u_{em}=\frac{1}{2}(\vec{E}\cdot\vec{D}+\vec{H}\cdot\vec{B})\), плотность потока энергии (вектор Пойнтинга) \(\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}\).

Плоская монохроматическая световая волна в однородной среде задаётся величинами: угловая частота \(\omega\), волновой вектор \(\vec{k}\), \(\vec{D}\), \(\vec{B}\). Из уравнений Максвелла: \(\vec{k}\times\vec{E}=\omega \vec{B}\) и \(\vec{k}\times\vec{H}=-\omega \vec{D}\). В такой волне векторы \(\vec{D}\) и \(\vec{B}\) меняются в пространстве и во времени по синусоиде с фазой \((\vec{k} \cdot \vec{r} -\omega t)\).

Часть A. Распространение света в изотропном диэлектрике (1.0 балл)

В изотропной среде \(\vec{P}=\chi \epsilon_0 \vec{E}\) и \(\vec{D}=\epsilon \vec{E}\), где \(\chi\) – магнитная восприимчивость, \(\epsilon = \epsilon_0 (1+\chi)\) – магнитная проницаемость. Фазовая скорость волны равна \(v_p = c/n\), где \(c\) – скорость света в вакууме, \(n\:\)– показатель преломления. Можно также представлять свет набором лучей, направленных вдоль переноса энергии и имеющих скорость \(v_r\), с которой переносится плотность энергии.

Рассмотрим плоскую световую волну с угловой частотой \(\omega\) и волновым вектором \(\vec{k}\) в однородной изотропной диэлектрической среде.

A1. Получите выражение для фазовой скорости \(v_p\) через \(\epsilon\) и \(\mu_0\).

A2. Напишите, как выражается показатель преломления \(n\).

A3. В каком направлении \(\hat{S} \equiv \vec{S}/S\) переносится энергия? Какова скорость лучей \(v_r\)?

Часть B. Распространение света в одноосной среде (4.8 балла)

Теперь предположим, что среда имеет выделенное направление \(z\) ({\it оптическую ось}): \(D_x = \epsilon E_x\), \(D_y = \epsilon E_y\), \(D_z = \epsilon' E_z\), где все оси попарно ортогональны. Тогда фазовая скорость зависит еще и от направлений \(\vec{k}\) и \(\vec{D}\). Обозначив \(n_o = c \sqrt{\mu_0 \epsilon}\) и \(n_e=c \sqrt{\mu_0 \epsilon'}\), выполните пункты B1, B2, и B3.

B1. Пусть волновой вектор \(\vec{k}\) лежит в плоскости \(xz\): \(\vec{k}=k(\sin \theta,0,\cos \theta)\). При заданном \(\theta\) плоская монохроматическая волна может распространяться только при определенных направлениях \(\vec{D}\) и \(\vec{B}\).

Найдите эти возможные направления.

Выразите также все соответствующие показатели преломления через \(\theta\), \(n_o\) и \(n_e\).

При каком угле \(\theta\) возможно лишь одно значение показателя преломления?

B2. Поляризация световой волны (направление колебаний \(\vec{E}\)) может быть перпендикулярна плоскости \(xz\) (обыкновенная волна, обыкновенный луч) или лежать в этой плоскости (обыкновенная волна/луч).

Для каждой из волн, найденных вами в B1, запишите единичный вектор в направлении поляризации.

Укажите, какая из них обыкновенная, а какая – необыкновенная.

Вычислите \(\operatorname{tg}\alpha\), где \(\alpha\) – угол между \(\vec{E}\) и \(\vec{D}\) (\(\alpha\) положительный, если вектора \(\vec{E}\) и \(\vec{D}\) лежат в плоскости \(xz\) и поворот от \(\vec{E}\) к \(\vec{D}\) происходит по часовой стрелке).

B3. Используйте результаты пунктов B1 и B2 в случае, когда \(\vec{k}\) по-прежнему составляет угол \(\theta\) с положительным направлением оси \(z\), но не лежит в плоскости \(xz\).

Укажите возможные значения показателя преломления и соответствующие поляризации.

В одноосных средах направление светового луча может отличаться от направления вектора \(\vec{k}\). Фазовая скорость по-прежнему вычисляется как \(c/n\) (\(n\) соответствует направлению \(\vec{k}\)). А скорость лучей определяется с учетом направления и плотности потока энергии.

B4. Пусть \(\vec{k} = k(\sin \theta,0,\cos \theta)\), как в пунктах B1–B3. Угол между \(\hat{k} \equiv \vec{k}/k\) и направлением луча, \(\hat{S}\), обозначим \(\alpha_r\) (\(\alpha_r\) положительный, если вектора \(\hat{S}\) и \(\hat{k}\) лежат в плоскости \(xz\) и поворот от \(\hat{S}\) к \(\hat{k}\) происходит по часовой стрелке).

Найдите возможные значения \(\operatorname{tg}\alpha_r\), скорости лучей \(v_r\) и вектора Пойнтинга \(\hat{S}\). Используя эти результаты, выразите величину \(n_s = c/v_r\) через \(\hat{S}\), \(\hat{x}\), \(\hat{z}\), \(n_o\), \(n_e\).

Пусть луч света идет из A в B через границу раздела изотропной (1) и анизотропной (2) сред (см. рис. 1). Плоскость \(yz\) – граница раздела, \(xz\) – плоскость падения, и в ней же лежит направление поляризации. Угол падения \(\theta_1\). Показатель преломления (1) равен \(n\), показатели преломления (2) для направлений \(z_2\), \(y_2\), \(x_2\) равны \(n_e\), \(n_o\), \(n_o\) соответственно. Причем ось \(y_2\) совпадает с осью \(y\). Из принципа Ферма следует:

\[\bar{A} (\operatorname{tg}\theta_2 )^2 + \bar{B} \operatorname{tg}\theta_2 +\bar{C}=0\]

B5. Получите выражения для \(\bar{A}\), \(\bar{B}\), \(\bar{C}\) через \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) и \(n \sin \theta_1\), где \(P_1=n^2_o \cos^2 \phi+n^2_e \sin^2 \phi\), \(P_2=n^2_o \sin^2 \phi+n^2_e \cos^2 \phi\), \(P_3=(n^2_o - n^2_e) \sin \phi \cos \phi\). С помощью уравнения (1) найдите \(\tan \theta_2\) для двух случаев ориентации: \(\phi =0\) и \(\phi = \pi/2\).

Часть C. Запутанность света (4.2 балла)

В нелинейной среде напряженность электрического поля \(\vec{E}\) связана с вектором поляризации \(\vec{P}\) выражением \(P_i=(\epsilon-\epsilon_0)E_i + \sum_j \sum_k \chi^{(2)}_{ijk} E_jE_k\). Здесь \(i\), \(j\), \(k\) каждый может быть любым из трёх компонент \(x\), \(y\), \(z\). \(\chi^{(2)}_{ijk}\) есть константы, представляющие нелинейную восприимчивость среды второго порядка. Ненулевые \(\chi^{(2)}_{ijk}\) приводят к тому, что при прохождении через нелинейную среду световая волна может расщепиться на две световые волны.

Предположим, что поскольку не все \(\chi^{(2)}_{ijk}\) равны нулю, электрическое поле в среде является суперпозицией трёх плоских волн с угловыми частотами \(\omega\), \(\omega_1\), и \(\omega_2\), распространяющиеся с волновыми векторами \(\vec{k}\), \(\vec{k}_1\), и \(\vec{k}_2\), соответственно. Будем считать, что \(\omega \geq \omega_2\) и \(\omega_1 \geq \omega_2\).

C1. Найдите все возможные отношения (известные как условия фазового синхронизма) между этими угловыми частотами и волновыми векторами.

Если рассматривать свет состоящим из фотонов, какие законы сохранения подразумевают эти условия для трех указанных фотонов?

Запишите уравнения, выражающие эти законы сохранения для случая, когда фотон с угловой частотой \(\omega\) и волновым вектором \(\vec{k}\) расщепляется на два фотона с угловыми частотами \(\omega_1\)и \(\omega_2\), распространяясь с волновыми векторами \(\vec{k}_1\)и \(\vec{k}_2\), соответственно.

C2. Рассмотрим световую волну в одноосной среде. Обозначим обыкновенный луч как \({\bf o}\) и необыкновенный луч как \({\bf e}\). Есть 8 возможных путей расщепления световой волны: \({\bf o → o + o}\), \({\bf o → e + o}\), \({\bf o → o + e}\), \({\bf o → e + e}\), \({\bf e → o + o}\), \({\bf e → e + o}\), \({\bf e → o + e}\), и \({\bf e → e + e}\). Предположим, что коэффициенты преломления \(n_o\) и \(n_e\) оба являются возрастающей функцией от \(\omega\). Используя те же обозначения как и в вопросе C1 и считая что \(\vec{k}\), \(\vec{k}_1\), и \(\vec{k}_2\) коллинеарны, укажите какие из 8 путей расщепления не могут быть возможны.

Рассмотрим падающий \({\bf e}\) луч распространяющийся вдоль направления оси \(z'\) с волновыми вектором \(\vec{k}\) и \(\omega=\Omega_p\) в одноосной среде с показателем преломления \(n_e < n_o\). Предположим, что при коллинеарном расщеплении \({\bf e → e + o}\), условие фазового синхронизма выполняется для \(k_1=K_e\), \(\omega_1=\Omega_e\), \(k_2=K_o\), и \(\omega_2=\Omega_o\). Здесь индексы 1 и 2 относятся к \({\bf e}\) лучу и к \({\bf o}\) лучу. Векторы \(\vec{k}_1\), \(\vec{k}_2\) и \(\vec{k}\) все сонаправлены с направлением \(z'\). Как показано на рис. 2(a), оптическая ось среды лежит в плоскости \(x'z'\) и имеет угол \(\theta < \pi/2\) с осью \(z'\). Поэтому, получается что \(n_e\) есть функция от \(\omega\) и \(\theta\), т.е., \(n_e=n_e(\omega,\theta)\). Для того же падающего луча \({\bf e}\) с волновым вектором \(\vec{k}\) и \(\omega=\Omega_p\), предположим неколлинеарное расщепление лучей \({\bf e + o}\). Такое расщепление двух последних указанных лучей приводит к тому, что они расщепляются но остаются на двух конусах с \(\omega_1=\omega_2=\Omega\), \(k_1=k_2\), как показано на рис. 2(b). Отметим, что при коллинеарном расщеплении, \(\Omega_e\) уже близко к \(\Omega_o\), и здесь \(\Omega\) лишь немного меньше \(\Omega_e\). В плоскости перпендикулярной к \(\vec{k}\), два круговых сечения конусов \(\vec{k}_1\) и \(\vec{k}_2\) пересекаются в точках \(a\) и \(b\) так, что линия \(\overline{ab}\) параллельна оси \(y'\). Как показано на рис. 2(a), \(\vec{k}_{\alpha}\)(\(\alpha=1,2\) ) составляет угол \(\theta_{\alpha}\) с оптической осью и имеет угловые координаты \((\psi_{\alpha}, \phi_{\alpha})\). Здесь \(\vec{k}_{\alpha \perp}\) является проекцией на плоскость \(x'y'\). Каждый вектор \(\vec{k}_{\alpha}\) отклоняется от оси \(z'\)только на малую величину \(|(\Omega-\Omega_e)/\Omega_e| \ll 1\), \(|\vec{k}_{\alpha \perp}|/k_{\alpha} \ll 1\) и \(|\theta_{\alpha}-\theta| \ll 1\). Используя приближение, которые согласуются с \(z'\) компонентой \(\vec{k}_{\alpha}\) до членов порядка \(k^2_{\alpha \perp}\) и угол \(\theta_{\alpha}\) до \((\theta_{\alpha}-\theta)^2\), можно показать что \(\vec{k}_{2\perp}=(q_{x'},q_{y'})\) удовлетворяет выражению \(M (q_{x'}+ N )^2+M q^2_{y'}= L\).

C3. Пусть \(M >0\). Выразите \(M\), \(N\), и \(L\) через \(\Omega\), \(\Omega_e\), \(\Omega_o\), \(K_e\), \(K_o\) и \(N_e (\omega,\theta)=\dfrac{1}{n_e(\omega,\theta)}\dfrac{\mathrm dn_e(\omega,\theta)}{\mathrm d \theta}\) и групповые скорости \(u_o=\dfrac{\mathrm dw_2}{\mathrm d k_2}\) и \(u_e =\dfrac{\mathrm d \omega_1}{\mathrm d k_1}\) для \({\bf o}\) и \({\bf e}\) лучей. Оцените угол между осью конуса и осью \(z'\), и также оцените угол между осью и образующей конуса через \(L\), \(M\), \(N\) and \(K_o\).

(a)

Вопрос C3 показывает, что фотон может разделиться на два фотона, которые при прохождении через точки a и b поляризованы в перпендикулярных направлениях. Эти два фотона называются запутанной парой фотонов, потому что если один фотон, проходящий через \(a\) (называемый \(a\)-фотоном), поляризован в направлении \(\hat{x}'\), то другой, который проходит через \(b\) (называемый \(b\)-фотоном), будет поляризован в направлении \(\hat{y}' \perp \hat{x}'\), и если \(a\)-фотон поляризован в \(\hat{y}'\), то \(b\)-фотон будет поляризован в \(\hat{x}'\). Запутанное состояние пары фотонов может быть получено экспериментально. Это суперпозиция двух вышеуказанных альтернативных состояний и может быть выражена как \(\frac{1}{\sqrt{2}} (|\hat{x}'_a \rangle|\hat{y}'_b\rangle+|\hat{y}'_a \rangle|\hat{x}'_b\rangle)\). Здесь \(|\hat{x}'_a \rangle|\hat{y}'_b\rangle\)представляет состояние когда \(a\)-фоторн поляризован в направлении \(\hat{x}'\) и \(b\)-фотон поляризован в направлении \(\hat{y}'\); аналогичное значение имеет \(|\hat{y}'_a \rangle|\hat{x}'_b\rangle\). Коэффициент \(1/\sqrt{2}\) может рассматриваться как произведение амплитуд электрического поля (выраженное в соответсвующих единицах) для \(a\)- и \(b\)-фотонов. Как показано на рис. 3, два линейных поляризатора 1 и 2 имеют оси пропускания под углами \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно относительно \(\hat{x}'\). Мы можем использовать их для измерения совпадений двух фотонов, прошедших через \(a\) и \(b\). Пусть вероятность одновременного обнаружения двух фотонов, проходящих через поляризаторы 1 и 2, равна \(P(\alpha,\beta)\). Другими словами, \(P(\alpha,\beta)\) можно также рассматривать как величину, пропорциональную произведению интенсивностей (после соответствующих суперпозиций) света, проходящего через два поляризатора. Обозначим \(\alpha+\pi/2\) и \(\beta+\pi/2\) как \(\alpha_{\perp}\) и \(\beta_{\perp}\) соответственно.

C4. Рассмотрим полное электрическое поле, создаваемое линейными поляризаторами. Найдите вероятности \(P(\alpha,\beta)\), \(P(\alpha,\beta_{\perp})\), \(P(\alpha_{\perp},\beta)\), и \(P(\alpha_{\perp},\beta_{\perp})\).

C5. Обозначим \(\sigma_a=1\) когда поляризатор 1 с углом \(\alpha\) находит \(a\)-фотон и \(\sigma_a=-1\) когда поляризатор 1 с углом \(\alpha_{\perp}\) находит \(a\)-фотон. Аналогично, \(\sigma_{\beta}=1\) или \(-1\) обозначают случаи когда поляризатор 2 с углами \(\beta\) или \(\beta_{\perp}\) находят \(b\)-фотон.

Если \(E(\alpha,\beta)\) обозначает среднее от \(\sigma_a \sigma_b\), то величина \(S=|E(\alpha,\beta)-E(\alpha,\beta')|+|E(\alpha',\beta)-E(\alpha',\beta')|\) имеет чрезвычайно важное значение. Для классической теории света \(S \leq 2\). Это одна из формулировок неравенства Белла (CHSH-неравенства, полученного Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом).

Получите выражение для \(S\) и вычислите \(S\) для случая \(\alpha=\frac{\pi}{4}\),\(\alpha'=0\) , \(\beta=-\frac{\pi}{8}\), \(\beta'=\frac{\pi}{8}\).

Укажите, согласуется ли результат для \(S\) с классической теорией.