Гидравлический удар

В этой задаче изучается поведение давления в жидкости, связанное с волнами в трубе. В заданиях рассматривается гидравлический удар, который проявляется при медленном и быстром перекрытии управляющих клапанов.

В задаче изучаются невязкие жидкости и их течение. Оно одномерное. Считайте, что трубы и клапаны жесткие, однако сжимаемость жидкости нужно иногда учитывать. Пусть элемент жидкости объема \(V_0\) находится в равновесии при давлении \(P_0\). Тогда если давление изменится на \(\Delta P\), то его объем изменится на \(\Delta V\), и он будет пропорционален \(\Delta P\): \[\Delta P = -B~ \frac{\Delta V}{V_0},\] где \(B\) — модуль всестороннего сжатия жидкости. Для воды можно считать, что плотность в состоянии равновесия равна \(\rho_0=1.0\cdot 10^3~кг/м^3\) и \(B=2.2~ГПа\).

Часть A. Избыточное давление и распространение волны давления (2.2 балла)

По цилиндрической трубе длины \(L\) в установившемся режиме течет вода в направлении \(+x\). Ее скорость \(v_0\), плотность \(\rho_0\) и давление \(P_0\). Как показано на рисунке 1, труба соединена с резервуаром глубины \(h\), а второй конец трубы открывается в атмосферу, где давление равно \(P_a\).

Пусть клапан на конце трубы мгновенно закрывают, и прилегающий к клапану элемент воды испытывает скачок давления \(\Delta P_{\mathrm{s}} \equiv P_1-P_0\) и скорости \(\Delta v =v_1-v_0\), причем \(v_1 \le 0\). Это вызывает продольную волну избыточного давления \(\Delta P_{\mathrm{s}}\), распространяющуюся в направлении \(-x\) со скоростью \(c\).

Рис. 1.

A1. Избыточное давление \(\Delta P_{\mathrm{s}}\) и скачок скорости \(\Delta v\) связаны следующим образом: \(\Delta P_{\mathrm{s}} = \alpha \rho_0c\Delta v\). Скорость распространения \(c\) представима в виде \(c=\beta + \sqrt{\gamma B/\rho_0}\).

Найдите \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\).

A2. Рассчитайте \(c\) и \(\Delta P_{\mathrm{s}}\), если параметры течения воды следующие: \(v_0=4.0~м/с\) и \(v_1=0\).

Часть B. Модель клапана, управляющего потоком (1 балл)

На рисунке 2 показана модель клапана \(\mathrm{T}\) и поток жидкости через него. Клапан представляется в виде короткого отрезка \(\Delta L\), радиуса \(R\) на конце \(A\) трубы. Выходное отверстие клапана имеет коническую форму, радиус суженной части равен \(r\). Клапан открывается в атмосферу, где давление равно \(P_a\). Силой тяжести, действующей на текущую жидкость, можно пренебречь.

Жидкость считать несжимаемой, а поток установившимся. Элемент жидкости на входе в клапан имеет скорость \(v_{\mathrm{in}}\), давление \(P_{\mathrm{in}}\) и плотность \(\rho_0\). На рисунке 2 линии тока и нормали к ним приведены только в качестве иллюстрации общей картины потока.

Рис. 2.

Известно, что после выхода струи из клапана в атмосферу, ее сечение будет уменьшаться, пока не достигнет минимального значения, когда линии тока оказываются снова параллельными. В этот момент скорость потока равна \(v_c\), а радиус сечения потока равен \(r_{\mathrm{c}}=r\sqrt C_{\mathrm{c}}\). Здесь \(C_{\mathrm{c}}\) — коэффициент сжатия, и он зависит от отношения \(r/R\) и угла \(\beta\). Зависимость приведена в Таблице 1.

Таблица 1

B1. Найдите избыточное давление \(\Delta P_{\mathrm{in}} =P_{\mathrm{in}}-P_{\mathrm{a}}\) на входе в клапан, где линии тока параллельны. Ответ выразите через \(\rho_0\), \(v_{\mathrm{in}}\), \(r\), \(R\) и \(C_{\mathrm{c}}\).

Во всех заданиях частей C и D рассматривается система труба-резервуар, приведенная на рисунке 1. Также используйте следующие предположения:

Часть С. Гидравлический удар при быстром закрытии клапана (1.8 балла)

Рассмотрим снова систему труба-резервуар (Рис. 1). Если перегородить поток (полностью или частично закрыв клапан), возникнет волна давления, распространяющаяся в обратном направлении. Она отразится от конца \(\rm B\) трубы, вернется к клапану и отразится от него. Таким образом, возникнет другая волна, и описанный процесс повторится. Поэтому наблюдается серия всплесков и падений давления, испытываемого элементом жидкости вблизи клапана. Это и называется гидравлическим ударом .

C1. Найдите давление \(P_0\) и скорость \(v_0\) установившегося потока в трубе, когда клапан \(\mathrm{T}\) полностью открыт (\(r=R\)) (см. Рис. 1 и 2). Ответ выразите через \(\rho_0\), \(g\), \(h\) и \(P_{\mathrm{a}}\).

C2. Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление \(P_0\) и скорость \(v_0\)). Затем в \(t=0\) клапан мгновенно перекрывают (\(r=0\)). Волна давления распространяется к резервуару со скоростью \(c\). Давление \(P_h=P_0+\rho_0gh\). Пусть \(\tau =2L/c\). Чему равны давления \(P(t)\) и скорости потока \(v(t)\) в трубе, когда \(t\) очень близко к \(\tau/2\) и \(\tau\)?

Часть D. Гидравлический удар при медленном закрытии клапана (5.0 баллов)

Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление \(P_0\) и скорость \(v_0\)). Теперь клапан закрывается медленно. Чтобы смоделировать процесс закрытия, разобьем его на шаги.

Начиная с момента времени \(t=0\), и далее каждые \(\tau=2L/c\) происходит мгновенное изменение радиуса \(r\) клапана. Сразу после каждого изменения радиуса поток вблизи клапана считайте установившимся (как в части B ). Таким образом, давление и скорость потока вблизи клапана отличаются от этих величин в остальных частях трубы.

Для каждого шага \(n\) в Таблице 2 приведены значения длительности этого шага и значение радиуса \(r_n\). Также указаны обозначения давления в жидкости \(P_n\) и скорости потока \(v_n\) вблизи клапана.

Таблица 2

Плотность жидкости \(\rho_0\) и скорость распространения волны \(c\) можно считать постоянными. Пусть \(n =0,1,2,3,4\). Определим \(\Delta P_n =P_n-P_0\) и \(\Delta v_n=v_n-v_0\).

Работайте в приближении, что \(P_h =P_0\).

D1. Выразите \(\Delta P_n/(\rho_0 c)\) через \(\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)\), \(v_{n-1}\) и \(v_n\). Выражение должно быть справедливо для всех \(n>0\), приведенных в Таблице 2.

Для \(n=1,2,3\) получите также выражение для расчета \(v_n\), если \(v_{n-1}\) и \(\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)\) известны.

D2. Используйте результаты пункта D1 для потока, движущегося со скоростью \(v_0=4.0~м/с\).

На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости \(\Delta P\) от \(\rho_0cv\). Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты \(\rho_0cv_n\) и \(\Delta P_n\) для \(n=1,2,3,4\).

Подпишите точки пересечения \((\rho_0cv_n, \Delta P_n)\) для всех \(n\).

Из графика оцените значения \(\rho_0cv_n\) и \(\Delta P_n\) (все в МПа) для \(n=1,2,3,4\).