Плазмонный парогенератор

При решении задачи вам могут потребоваться следующие постоянные

• Скорость света в вакууме  \(c = 2.998 \times 10^8 ~\text{м} \cdot \text{с}^{-1}\)

• Элементарный заряд \(e = 1.602\times 10^{-19}~\text{Кл}\)

• Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} ~\text{Кл}^2 \cdot \text{Дж}^{-1} \cdot \text{м}^{-1}\)

• Масса электрона \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}~\text{кг}\)

• Молярная масса серебра \(M_{Ag} = 1.079 \times 10^{-1}~\text{кг} \cdot \text{моль}^{-1}\)

• Плотность серебра \(\rho_{Ag} = 1.049 \times 10^4~\text{кг} \cdot \text{м}^{-3}\)

• Удельная теплоемкость серебра \(c_{Ag} = 2.40 \times 10^2~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{К}^{-1}\)

• Молярная масса воды \(M_{wa} = 1.801 \times10^{-2}~\text{кг} \cdot \text{моль}^{-1}\)

• Плотность воды \(\rho_{wa} = 0.998 \times 10^3~\text{кг} \cdot \text{м}^{-3}\)

• Удельная теплоемкость воды \(c_{wa} = 4.181 \times 10^3~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{К}^{-1}\)

• Удельная теплота испарения воды \(L_{wa} = 2.260 \times 10^6 ~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1}\)

• Удельная теплоемкость пара \(c_{st} = 2.080 \times 10^3~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{К}^{-1}\)

Введение

В этой задаче мы исследуем эффективный процесс получения водяного пара, который был реализован в эксперименте. В водном растворе содержатся шарообразные наноразмерные частицы серебра (наночастицы) , концентрация которых порядка \(10^{13}\) частиц на литр. Раствор освещается сфокусированным пучком света. Часть света поглощается наночастицами, которые при этом нагреваются и превращают в воду в пар вблизи своей поверхности, не нагревая при этом остальной объем жидкости. Пар выходит из раствора пузырьками. В настоящее время не все детали этого процесса полностью понятны, но точно известно, что в основе процесса лежит поглощение света с последующим возбуждением так называемых коллективных колебаний электронов в металлических наночастицах. Это устройство получило название плазмонного парогенератора.

Одиночная сферическая частица серебра

Во всех пунктах задачи мы рассматриваем шарообразную наночастицу серебра радиусом \(R = 10.0~\text{нм}\) с центром, зафиксированным в начале координат, см. рис 1(a). Все движения, силы или движущие поля параллельны горизонтальной оси \(x\) (с единичным вектором \(\textbf{e}_x\)). Наночастица содержит свободные электроны (электроны проводимости), которые могут перемещаться во всем объеме наночастицы, не будучи привязаны ни к одному из атомов серебра. От каждого изначально нейтрального атома серебра высвободилось по одному электрону проводимости, в результате чего все атомы стали положительными ионами.

2.1. Определите объем \(V\) и массу \(M\) наночастицы, число \(N\) и плотность зарядов \(\rho\) ионов серебра в частице, а для свободных электронов – их концентрацию \(n\), суммарный заряд \(Q\) и суммарную массу \(m_0\).

Электрическое поле в нейтральной полости внутри заряженного шара

В дальнейшем будем считать, что относительная диэлектрическая проницаемость \(\varepsilon\) всех материалов равна 1. Внутри заряженного шара радиусом \(R\) с постоянной плотностью зарядов \(\rho\) создана небольшая сферически нейтральная область радиусом \(R_1\), путем добавления зарядов с противоположной плотностью \(- \rho\). Центр полости смещен на \(\textbf{x}_d = x_d \textbf{e}_x\) относительно центра шара, рис 1(b).

2.2. Покажите, что электрическое поле внутри нейтральной области однородно и имеет вид \(\textbf{E} = A(\rho/\varepsilon_0) \textbf{x}_p\). Определите константу \(A\).

Возвращающая сила, действующая на смещенное электронное облако

Изучим коллективное движение свободных электронов. Промоделируем их однородно заряженным шаром с отрицательной плотностью заряда \(- \rho\) с центром \(\textbf{x}_p\). Шар может двигаться вдоль оси \(x\) относительно центра неподвижного положительно заряженного шара из ионов серебра, находящегося в начале системы координат, рис 1(c). Предположим, что внешняя сила \(\textbf{F}_\text{ext}\) смещает электронное облако в новое положение равновесия \(\textbf{x}_p = x_p \textbf{e}_x\), где \(|x_p| \ll R\). Практически весь объем является электрически нейтральным, за исключением малых областей зарядов, скапливающихся на противоположных концах наночастицы. Это соответствует предельному случаю \(R_1 \to R\) в предыдущем задании.

2.3. Выразите через \(\textbf{x}_p\) и \(n\) следующие две величины: возвращающую силу \(\textbf{F}\), действующую на электронное облако, и работу \(W_{el}\), совершенную над электронным облаком в процессе смещения.

Шарообразная частица серебра в постоянном внешнем электрическом поле

Наночастица находится в вакууме. Под действием внешней силы \(\textbf{F}_{\text{ext}}\) (вызванной однородным электрическим полем \(\textbf{E}_0 = - E_0 \textbf{e}_x\)) электронное облако смещается на небольшое расстояние \(|x_p|\), где \(|x_p| \ll R\).

2.4. Выразите смещение электронного облака \(x_p\) через \(E_0\) и \(n\). Определите величину заряда электронов \(- \Delta Q\), прошедшего через плоскость \(xy\), проходящую через центр наночастицы. Выразите ее через \(n\), \(R\) и \(x_p\).

Эквивалентные емкость и индуктивность серебряной наночастицы

В случае как постоянного, так и переменного электрического поля \(\textbf{E}_0\) наночастица может быть представлена эквивалентным электрическим контуром. Определим его эквивалентную емкость. Для этого свяжем работу \(W_{el}\) по разделению зарядов \(\Delta Q\) с энергией конденсатора, несущего заряды \(\pm \Delta Q\). Разделение зарядов приводит к появлению напряжения \(V_0\) на эквивалентном конденсаторе.

2.5a. Выразите эквивалентную емкость наночастицы \(C\) через \(\varepsilon_0\) и \(R\) и найдите ее численное значение.

2.5b. Для данной емкости выразите через \(E_0\) и \(R\) эквивалентное напряжение \(V_0\), которое следует подать на конденсатор, чтобы накопить заряд \(\Delta Q\).

В переменном поле \(\textbf{E}_0\) электронное облако движется как единое целое со скоростью \(\textbf{v} = v\textbf{e}_x\), рис. 1(d). Облако обладает кинетической энергией \(W_{kin}\) и при своем движении создает электрический ток \(I\), протекающий через плоскость \(yz\). Кинетическая энергия электронного облака может быть представлена в виде энергии эквивалентной катушки индуктивности \(L\) с током \(I\).

2.6a. Выразите \(W_{kin}\) и \(I\) через скорость \(v\).

2.6b. Выразите эквивалентную индуктивность \(L\) через радиус частицы \(R\), заряд электрона \(e\) и его массу \(m_e\), концентрацию свободных электронов \(n\) и найдите ее численное значение.

Плазмонный резонанс наночастицы серебра

Из вышеприведенного анализа следует, что движение электронного облака. представленного самому себе после смещения из положения равновесия, может быть описано свободными колебаниями в идеальном колебательном \(LC\) контуре. Такое колебательное движение свободного электронного облака известно как плазмонный резонанс с соответствующей плазмонной частотой \(\omega_p\).

2.7a. Выразите плазмонную частоту \(\omega_p\) колебаний электронного облака через заряд электрона \(e\) и его массу \(m_e\), плотность заряда электронов \(n\) и электрическую постоянную \(\varepsilon_0\).

2.7b. Вычислите \(\omega_p\) в рад/с и длину света в вакууме \(\lambda_p\) в нм, частота которой \(\omega = \omega_p\).

Наночастица серебра, освещенная светом плазмонной частоты

В оставшейся части задачи наночастица освещается монохроматическим светом с циклической частотой \(\omega_p\) и интенсивностью \(S = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2 = 1.00~\text{МВт} \cdot \text{м}^{-2}\). Поскольку длина волны света велика по сравнению с размерами частицы \(\lambda_p \gg R\), можно считать, что частица находится в однородном внешнем поле \(\textbf{E}_0 = - E_0 \cos( \omega_p t) \textbf{e}_x\). Под действием поля \(\textbf{E}_0\) электронное облако осциллирует с той же самой частотой и постоянной амплитудой \(x_0\). Центр электронного облака движется с переменной скоростью \(\textbf{v} = d\textbf{x}_p/dt\). Такие колебания электронного облака приводят к поглощению света частицей. Энергия, поглощенная частицей, либо превращается в теплоту за счет джоулевых потерь в самой частице, либо переизлучается частицей в виде рассеянного света.

Джоулево тепло выделяется за счет случайных, полностью неупругих столкновений свободных электронов с ионами серебра. Вся кинетическая энергия превращается в энергию колебаний ионов, то есть в тепло. Среднее время между двумя последовательными столкновениями для одного электрона \(\tau \gg 1/\omega_p\). Для наночастицы серебра оно равно \(\tau = 5.24 \cdot 10^{-15}~\text{с}\).

2.8a. Найдите выражение для усредненной по времени мощности джоулевых потерь \(P_{heat}\) в наночастице, а также усредненный по времени квадрат силы тока \(\langle I^2 \rangle\). Приведите их явную зависимость от среднего квадрата скорости \(\langle v^2 \rangle\) электронного облака.

2.8b. Моделируя наночастицу омическим сопротивлением, на котором выделяется джоулево тепло мощностью \(P_{heat}\) при протекании тока \(I\) электронного облака, найдите выражение для эффективного сопротивления \(R_{heat}\). Вычислите его численное значение.

Падающий пучок света теряет некоторую среднюю мощность \(P_{scat}\) за счет рассеяния на осциллирующем электронном облаке (переизлучение). \(P_{scat}\) зависит от характеристик источника рассеянных волн (амплитуды \(x_0\), заряда \(Q\), циклической частоты \(\omega_p\)) и свойств световых волн (скорости света \(c\) и электрической постоянной \(\varepsilon_0\)). Выражение для \(P_{scat}\) можно записать как \(P_{scat} = \frac{Q^2 x_0^2 \omega_p^4}{12\pi \varepsilon_0 c^3}\).

2.9. Используя \(P_{scat}\), найдите выражение для эквивалентного сопротивления рассеяния \(R_{scat}\) в эквивалентной модели с сопротивлением (по аналогии с \(R_{heat}\)) и вычислите его значение.

Для моделирования наночастицы серебра все вышеперечисленные элементы электрических цепей можно собрать в единый последовательный \(RLC\) контур. Гармонический источник напряжения в цепи \(V = V_0 \cos (\omega_p t)\) определяется электрическим полем \(E_0\) падающего света.

2.10a. Получите выражения для средних по времени мощностей потерь \(P_{heat}\) и \(P_{scat}\) через амплитуду электрического поля \(E_0\) падающего свет на частоте плазмонного резонанса \(\omega = \omega_p\).

2.10b. Вычислите значения \(E_0\), \(P_{heat}\), \(P_{scat}\).

Парообразование с помощью света

Водный раствор содержит наночастицы серебра с концентрацией \(n_{np} = 7.3 \times 10^{15}~\text{м}^{-3}\). Раствор находится внутри прозрачного прямоугольного сосуда размером \(h \times h \times a = 10 \times 10 \times 1.0~\text{см}^3\). Сосуд освещается нормально падающим по нормали пучком монохроматического света на частоте плазмонного резонанса с интенсивностью \(S = 1.0~\text{МВт} \cdot \text{м}^{-2}\), рис 1(e). Температура воды \(T_{wa} = 20^\circ C\). Предположим, что в установившемся состоянии все джоулево тепло в наночастице идет на парообразование (с конечной температурой пара \(T_{st} = 100^\circ C\)). Температура воды при этом остается постоянной.

Термодинамический к.п.д. плазмонного парогенератора определяется как \(\eta = P_{st}/P_{tot}\), где \(P_{st}\) – мощность, идущая на производство пара во всем сосуде, а \(P_{tot}\) – полная мощность светового потока, падающего на сосуд. Большую часть времени каждая наночастица окружена паром, а не водой. Поэтому можно считать, что она находится в вакууме.

2.11a. Вычислите полную массу пара \(\mu_{st}\), произведенного в плазмонном парогенераторе за одну секунду при облучении световым пучком с плазмонной частотой и интенсивностью \(S\), как дано выше.

2.11b. Вычислите значение к.п.д. \(\eta\) плазмонного генератора.