Поршни и зеркало

Сила, которую нужно приложить к нижнему поршню, уравновешивает давление воды на него. Вычислите её через высоту столба воды, учитывая, что на верхний поршень вода действует вниз. Затем используйте формулу тонкой линзы (зеркала).

Введём расстояния \(a\) и \(b\), показывающие положение поршней (см. рисунок); источник света находится на расстоянии \(a+b\) от зеркала. Сила \(F\) компенсирует давление воды на нижний поршень: \[F=\rho g\,(a+b)\,3S.\] Эта сила больше веса воды в трубе при ненулевом \(a\): это гидростатический парадокс, связанный с тем, что жидкость в расширяющейся трубе давит на стенки вверх.

Для зеркала с фокусом \(f\) и расстоянием до источника \(a+b\) и изображения \(x\): \[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{x}=\frac{1}{f}.\] Выражая \(a+b\) из первого равенства и подставляя во второе, получаем \[x(F)=\frac{fF}{F-3\rho gfS}.\] При \(F_{\text{кр}}=3\rho gfS\) величина \(x\) обращается в бесконечность, и при переходе через это значение изображение из действительного становится мнимым. При больших \(|F|\) функция стремится к \(f\): это сдвинутая гипербола.

Однако не при любом \(F\) равновесие возможно. При \(F>F_{\max}=3\rho gV\) нижний поршень упирается в сосуд, и дальнейший рост силы не меняет положения поршней; при \(F<F_{\min}=\rho gV\) сила не удерживает поршни, и равновесие невозможно. Поэтому график обрезается: при \(F>3\rho gfS\) значение \(x\) постоянно и равно \(\dfrac{fV}{V-fS}\), а область \(F<\rho gV\) убирается. Возможные виды графика зависят от соотношения параметров.