Задачи › Динамика движения по окружности, конический маятник

Карусель Вайза

  1. Карусель Вайза

    Санкт-Петербургская 2019/20, 10 кл.
    5/10

    Клоун Вайз решил исследовать карусель — диск, который можно раскручивать вокруг вертикальной оси \(OO'\). Он поставил на карусель с противоположных сторон от \(OO'\) на равном расстоянии \(R\) от оси два одинаковых тонких столбика (см. рис.). Связав верхушки столбиков лёгкой нерастяжимой нитью длиной \(2R\), Вайз раскрутил карусель до угловой скорости \(\omega\). При каком значении коэффициента трения столбики останутся стоять на раскрученной карусели? Считайте, что вся масса столбика сосредоточена на его концах: на верхнем конце \(30\) %, а на нижнем \(70\) %. Ускорение свободного падения \(g\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Рассмотрите силы во вращающейся системе отсчёта: центробежная сила, натяжение нити, сила трения и реакция. Столбик не должен вращаться, поэтому запишите правило рычага относительно его центра масс.

    Ответ

    \(\mu\ge 0{,}7\,\dfrac{\omega^2R}{g}\).

    Решение

    Рассмотрим критическое значение коэффициента трения, при котором столбик начинает проскальзывать, но ещё не соскальзывает с карусели. Силы тяжести \(mg\) и реакции карусели \(N=mg\) уравновешивают друг друга; сила тяжести приложена к центру масс \(C\) столбика.

    На столбик действуют сила натяжения нити \(T\), сила трения \(\mu N=\mu mg\) и центробежная сила \(m\omega^2R\), приложенная к центру масс и направленная от оси. Условие равновесия в горизонтальном направлении: \[T+\mu mg=m\omega^2R.\] Столбик не должен вращаться, поэтому относительно центра масс \(C\) выполняется правило рычага. Так как \(AC:CB=7:3\), получаем \[3\mu mg\,x=7T\,x \quad\Longrightarrow\quad 3\mu mg=7T.\] Решая систему, получаем ответ \(\mu\ge 0{,}7\,\omega^2R/g\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх