Задачи › Вычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочки

Случайный резистор

  1. Случайный резистор

    Санкт-Петербургская 2012/13, 9 кл.
    6/10

    В изображённой на рисунке схеме все резисторы имеют сопротивление \(1\) Ом. Экспериментатор собирает «случайный резистор». Сначала он случайным образом равновероятно выбирает одну из трёх вершин \(A\), \(B\) или \(C\). Далее, так же случайно, — одну из вершин \(D\), \(E\) или \(F\). Затем он подключает между выбранными вершинами резистор в 1 Ом. Наконец, с помощью идеальных проводов он подключает входной контакт \(G\) к первой выбранной вершине, а выходной \(H\) — ко второй. Экспериментатор собрал 1155 таких «случайных резисторов» и соединил их последовательно. Каково наиболее вероятное сопротивление получившейся цепи? Каждый «случайный резистор» собирается независимо от других.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    Наиболее вероятное сопротивление цепи \(641\) Ом.

    Решение

    Всего девять различных способов собрать «случайный резистор». Некоторые из них переходят друг в друга отражением, поэтому различных конструкций четыре (рис. ниже): конструкция типа 1 — одна из девяти, типа 2 — две, типа 3 — две, типа 4 — четыре. Поскольку выбор равновероятен, из 1155 резисторов примерно \(\frac{1}{9}\) принадлежат типу 1, \(\frac{2}{9}\) — типу 2, \(\frac{2}{9}\) — типу 3 и \(\frac{4}{9}\) — типу 4.

    Рисунок

    Схемы 1 и 2 эквивалентны, их сопротивление \(R_{1/2} = \frac{3}{5}\) Ом; \(R_3 = \frac{5}{11}\) Ом; \(R_4 = \frac{4}{7}\) Ом.

    Резисторы соединены последовательно, их сопротивления складываются: \[R = 1155\left[\left(\tfrac{1}{9} + \tfrac{2}{9}\right)R_{1/2} + \tfrac{2}{9}R_3 + \tfrac{4}{9}R_4\right] = 641~\text{Ом}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх