Разлёт осколков снаряда

В системе отсчёта, движущейся вместе со снарядом, в соответствии с законом сохранения импульса скорости осколков сразу после взрыва одинаковы: \(\vec v_{1c} = -\vec v_{2c}\). В неподвижной системе отсчёта скорости первого и второго осколков равны \(\vec v_1 = \vec v + \vec v_{1c}\) и \(\vec v_2 = \vec v + \vec v_{2c}\) соответственно (см. рисунок). Согласно условию задачи, \[\Delta W = \dfrac{mv_1^2}{4} + \dfrac{mv_2^2}{4} - \dfrac{mv^2}{2}.\] Из записанных соотношений получаем: \(v_{1c}^2 = 2\Delta W/m\).

Обозначим через \(\alpha\) угол разлёта осколков, а через \(\beta\) — угол между векторами \(\vec v\) и \(\vec v_{1c}\).

Тогда по теореме косинусов (см. рисунок) \[v_1^2 = v^2 + v_{1c}^2 + 2vv_{1c}\cos\beta,\] \[v_2^2 = v^2 + v_{1c}^2 - 2vv_{1c}\cos\beta,\] \[(2v_{1c})^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos\alpha,\] откуда получаем: \[\cos\alpha = \dfrac{v^2 - v_{1c}^2}{\sqrt{\left(v^2 + v_{1c}^2\right)^2 - 4v^2v_{1c}^2\cos^2\beta}}.\] Максимальный угол разлёта осколков \(\alpha_{\max}\) лежит в пределах от 0 до \(\pi\), а \(\cos\alpha_{\max}\) — в пределах от 1 до \(-1\). Если \(v < v_{1c} = \sqrt{2\Delta W/m}\), то из полученной формулы следует, что \(\cos\alpha < 0\), и \(\alpha_{\max} = \pi\) достигается при \(\beta = 0\), то есть осколки летят в разные стороны вдоль первоначального направления полёта снаряда. Если \(v = v_{1c}\), то \(\alpha = \pi/2\) при всех \(\beta\), кроме \(\beta = 0\), когда один из осколков останавливается (\(v_2 = 0\)), и угол разлёта не определён. Если же \(v > v_{1c} = \sqrt{2\Delta W/m}\), то \(\cos\alpha > 0\), и \(\alpha_{\max}\) достигается при минимальном значении \(\cos\alpha\), то есть при \(\beta = \pi/2\). При этом \[\cos\alpha_{\max} = \dfrac{v^2 - v_{1c}^2}{v^2 + v_{1c}^2} = \dfrac{mv^2 - 2\Delta W}{mv^2 + 2\Delta W}.\]