Изображения в двух зеркалах

Все изображения лежат на окружности с центром на ребре двугранного угла, образованного зеркалами, и проходящей через источник света \(P\) (см. рисунок). Пусть \(\alpha\) — угол между зеркалами, \(\Omega\) — заштрихованная область (не включая границы), \(W\) — незаштрихованная область (включая границы). Совпадающие изображения будем считать, согласно условию, за одно изображение.

Изображения, лежащие под прямой \(AC\), дают изображения в зеркале \(AO\), которые лежат над прямой \(AC\). Изображения, лежащие над прямой \(BD\), дают изображения в зеркале \(BO\), которые лежат под прямой \(BD\). Отсюда следует, что изображения, лежащие в области \(W\) без границ, дают своё изображение; изображения, лежащие в \(\Omega\), не дают своих изображений.

Обозначим через \(\alpha\) угол, который образуют лучи, проведённые из точки \(O\) к двум соседним изображениям. Из рисунка видно, что в области \(W\) лежит ровно \[2\left[\dfrac{\angle POD}{\alpha}\right] = 2\left[\dfrac{\pi - (\alpha/2)}{\alpha}\right]\] изображений (квадратными скобками обозначена операция выделения целой части числа). При этом возможны три следующих случая.

1) В \(\Omega\) не лежит ни одного изображения. Это имеет место тогда и только тогда, когда есть изображения, находящиеся на лучах \(OD\) и \(OC\). Это условие эквивалентно тому, что \(\dfrac{\pi - (\alpha/2)}{\alpha}\) является положительным целым числом. Тогда общее число различных изображений будет равно \[N = 2\cdot\dfrac{\pi - (\alpha/2)}{\alpha}.\] Приравнивая в этом выражении \(N = 100\), получаем: \[\alpha = \dfrac{2\pi}{N + 1} = \dfrac{2\pi}{101}.\] 2) В \(\Omega\) лежит ровно одно изображение, находящееся на луче \(OK\). Это имеет место тогда и только тогда, когда \(\dfrac{\pi}{\alpha}\) является целым положительным числом. При этом общее число изображений будет равно \[N = 2\left[\dfrac{\pi - (\alpha/2)}{\alpha}\right] + 1.\] Это число не может быть равно 100 ни при каком \(\alpha\), так как является нечётным, то есть второй случай не удовлетворяет условию задачи.

3) В \(\Omega\) лежат ровно 2 изображения. Это имеет место тогда и только тогда, когда \(\dfrac{\pi - (\alpha/2)}{\alpha}\) и \(\dfrac{\pi}{\alpha}\) не являются целыми положительными числами. Тогда общее число изображений будет равно \[N = 2\left[\dfrac{\pi - (\alpha/2)}{\alpha}\right] + 2.\] Приравнивая в этом выражении \(N = 100\), получаем \[\left[\dfrac{\pi - (\alpha/2)}{\alpha}\right] = \dfrac{N - 2}{2} = 49.\] Это уравнение эквивалентно неравенству \[\dfrac{N - 2}{2} = 49 \leqslant \dfrac{\pi - (\alpha/2)}{\alpha} < 50 = \dfrac{N}{2},\] откуда следует, что \[\dfrac{2\pi}{N + 1} = \dfrac{2\pi}{101} < \alpha \leqslant \dfrac{2\pi}{99} = \dfrac{2\pi}{N - 1}.\] Учтя указанные выше условия, при которых возможен третий случай, получаем, что угол \(\alpha = 2\pi/N = 2\pi/100\) должен быть исключён из последнего неравенства.

Объединяя все случаи, получаем ответ: \[\dfrac{2\pi}{101} < \alpha < \dfrac{2\pi}{100};\qquad \dfrac{2\pi}{100} < \alpha \leqslant \dfrac{2\pi}{99}.\]