Т-образный маятник

Пусть за малый промежуток времени \(\Delta t\) после отпускания маятник повернулся на малый угол \(\Delta\alpha\). При этом его потенциальная энергия уменьшилась, поскольку суммарная потенциальная энергия грузов №1 и №2 не изменилась, а груз №3 опустился на высоту \[\Delta h = L\cos(\alpha - \Delta\alpha) - L\cos\alpha = L\cos\alpha\cos\Delta\alpha + L\sin\alpha\sin\Delta\alpha - L\cos\alpha.\] Так как угол \(\Delta\alpha\) мал, то \(\cos\Delta\alpha \approx 1\), \(\sin\Delta\alpha \approx \alpha\), и \(\Delta h \approx L\Delta\alpha\sin\alpha\). Следовательно, изменение потенциальной энергии маятника за рассматриваемый промежуток времени равно \(\Delta U = -mg\Delta h = -mgL\Delta\alpha\sin\alpha\).

Ввиду жёсткости маятника во время движения величины смещений, скоростей и ускорений всех трёх грузов одинаковы. За время \(\Delta t\) первоначально покоившиеся грузы, двигаясь с одинаковыми ускорениями \(a\), приобретают одинаковые по величине скорости \(v = a\Delta t\) и смещаются на малые расстояния \[\Delta x = L\Delta\alpha = \dfrac{a(\Delta t)^2}{2} = \dfrac{v\Delta t}{2},\] откуда \(\Delta\alpha = \dfrac{v\Delta t}{2L}\). При этом маятник приобретает кинетическую энергию, равную \(\Delta W = 3\cdot\dfrac{mv^2}{2}\).

По закону сохранения механической энергии \[\Delta W + \Delta U = \dfrac{3mv^2}{2} - mgL\Delta\alpha\sin\alpha = 0.\] Подставляя в это уравнение выражение для \(\Delta\alpha\), получаем: \[mgL\cdot\dfrac{v\Delta t}{2L}\cdot\sin\alpha = \dfrac{3mv^2}{2},\] откуда \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v}{\Delta t} = \dfrac{g\sin\alpha}{3}\).

Таким образом, сразу после отпускания маятника на груз №3 действует сила \(F = ma = \dfrac{mg\sin\alpha}{3}\), направленная перпендикулярно третьему стержню, по касательной к траектории движения груза (см. рисунок). Эта сила равна сумме силы тяжести \(m\vec g\) и искомой силы реакции со стороны стержня \(\vec N\). Из треугольника сил по теореме косинусов получаем: \[N = \sqrt{F^2 + (mg)^2 - 2Fmg\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)} = mg\sqrt{\left(\dfrac{\sin\alpha}{3}\right)^2 + 1 - 2\cdot\dfrac{\sin\alpha}{3}\cdot\sin\alpha} = mg\sqrt{1 - \dfrac{5}{9}\sin^2\alpha}.\] Из рисунка видно, что сила \(\vec N\) направлена под таким углом \(\varphi\) к стержню, что \[N\sin\varphi = mg\sin\alpha - F = \dfrac{2}{3}mg\sin\alpha.\] Отсюда \[\varphi = \arcsin\left(\dfrac{2\sin\alpha}{\sqrt{9 - 5\sin^2\alpha}}\right).\]