Газировка под поршнем

Поршень лёгкий, поэтому давление газа сверху и снизу одинаково, а температура постоянна. Запишите, куда девается газ из нижней части: он растворяется в поступившей воде. Подумайте, что изменится, когда весь газ под поршнем растворится.

Пусть \(V_\text{в}\) — объём верхней части сосуда, \(V_1\) и \(V_2\) — объёмы газа и, соответственно, газированной воды в нижней части сосуда. Так как вода поступает с постоянной скоростью, а суммарный объём сосуда равен \(2V_0\), то \[V_2 = qt, \qquad V_1 = 2V_0 - V_\text{в} - qt.\] Рассмотрим случай, когда вода ещё не заполнила всю нижнюю часть сосуда (\(V_1 > 0\)). Поршень, разделяющий сосуд, лёгкий и двигается без трения, поэтому давление углекислого газа \(P\) по обе стороны от него одинаково. Масса \(CO_2\), растворённого в воде, согласно закону Генри равна \[m_2 = \mu_\text{р} V_2 = kPV_2 = kPqt.\] В начальный момент массы газа в верхней и нижней частях сосуда равны, следовательно в некоторый момент \(t\) масса газа под поршнем \[m_1 = m_\text{в} - m_2 = m_\text{в} - kPqt, \tag{*}\] где \(m_\text{в}\) — масса углекислого газа в верхней части сосуда. Запишем теперь уравнения Менделеева–Клапейрона для газа, находящегося по обе стороны от поршня, и, выражая оттуда массы, подставим их в уравнение \((*)\) \[\begin{gather*} \begin{cases} PV_\text{в} = m_\text{в} RT_0/M,\\ PV_1 = m_1 RT_0/M \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \frac{PV_1 M}{RT_0} = \frac{PV_\text{в} M}{RT_0} - kPqt \quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad V_1 = V_\text{в} - \frac{kRT_0}{M}\cdot qt. \end{gather*}\] Отсюда, решая систему, найдём, что \[V_\text{в} = V_0 + \frac{qt}{2}\left(\frac{kRT_0}{M} - 1\right), \qquad V_1 = V_0 - \frac{qt}{2}\left(\frac{kRT_0}{M} + 1\right). \tag{**}\] Поскольку \[\frac{kRT_0}{M} = \frac{3{,}17\cdot10^{-5}\cdot 8{,}31\cdot 274}{0{,}044} \approx 1{,}64 > 1,\] то из первого выражения в \((**)\) следует, что \(V_\text{в}\) увеличивается с постоянной скоростью, а поршень двигается вниз. Скорость его движения равна \[v_\text{п} = \frac{\Delta V_\text{в}}{S\Delta t} = \frac{q}{2S}\left(\frac{kRT_0}{M} - 1\right) = \frac{4\text{ см}^3/\text{с}}{256\text{ см}^2}\,(1{,}64 - 1) \approx 0{,}01\text{ см/с}.\]

Из второго выражения в \((**)\) следует, что объём газа над поверхностью воды в нижней части сосуда непрерывно уменьшается и в момент времени \[t_1 = \frac{2V_0}{q(kRT_0/M + 1)} = \frac{2\cdot 6{,}6\text{ л}}{0{,}004\text{ л/с}\cdot(1{,}64 + 1)} \approx 1250\text{ с}\] становится нулевым, весь газ оказывается растворенным в жидкости, а жидкость упирается в поршень. В дальнейшем поступающая вода будет поднимать поршень, а объём газа в верхней части сосуда станет уменьшаться. Процесс, происходящий с газом над поршнем, изотермический, поэтому минимальное давление \(P_{min}\) достигается при максимальном \(V_\text{в}\), то есть через время \(t = t_1\) после включения насоса.

Максимальный объём верхней части сосуда достигается в момент времени \(t_1\). Найдем этот объем, подставив выражение для \(t_1\) в первую формулу \((**)\): \[V_{\text{в}\,max} = 2V_0\cdot\frac{kRT_0/M}{kRT_0/M + 1} \approx 8{,}2\text{ л}.\] Давление газа над поршнем в этот момент, согласно закону Бойля–Мариотта, равно \[P_{min} = \frac{P_0 V_0}{V_{\text{в}\,max}} \approx 132\text{ кПа}.\]

В момент выключения насоса давление газа над поршнем равно \(P_\text{кр}\), а объём верхней части сосуда составляет \[V_{\text{в}\,\text{кр}} = \frac{P_0 V_0}{P_\text{кр}} = \frac{2V_0}{5} = 2{,}64\text{ л}.\] Объём остальной части сосуда, заполненной водой, равен \[V_{2\,\text{кр}} = 2V_0 - V_{\text{в}\,\text{кр}} = \frac{8V_0}{5}.\] Отсюда получим, что время работы насоса \[t_2 = \frac{V_{2\,\text{кр}}}{q} = \frac{8V_0}{5q} = 2640\text{ с}.\]

Исходя из результатов, полученных в предыдущих пунктах, график зависимости \(V_\text{в}(t)\) имеет вид ломаной, состоящей из двух прямолинейных участков. Вершина ломаной находится в точке с координатами \((t_1;\ V_{\text{в}\,max})\), а её концы — в точках \((0;\ V_0)\) и \((t_2;\ V_{\text{в}\,\text{кр}})\). Построим график функции \(V_\text{в}(t)\), отметив на нём характерные точки.