Быстрые поршни

Давление газа постоянно, поэтому высота поршня пропорциональна температуре, а площадь боковой стенки — тоже. Получите из теплового баланса скорость поршня как функцию температуры газа и найдите её наибольшее значение на пути от начальной температуры до \(T_0\).

Поскольку поршни лёгкие и могут перемещаться без трения, давление внутри и снаружи одинаковое (равно \(p_0\)). Объём газа под поршнем \(V = \pi r^2h\), где \(h\) — высота расположения поршня. Уравнение Менделеева–Клапейрона для газа внутри цилиндра \[p_0\pi r^2h = \nu RT.\] Для малых изменений высоты и температуры \[p_0\pi r^2\,dh = \nu R\,dT,\] где \(dh = v\,dt\).

Изменение температуры газа происходит изобарически. Уравнение теплового баланса для малого промежутка времени \(\alpha h2\pi r(T_0 - T)\,dt = \nu C_p\,dT\).

Из трёх записанных уравнений находим связь скорости и температуры: \[v = \frac{2\alpha\nu R^2}{\pi C_p p_0^2r^3}\cdot T(T_0 - T).\] Иначе \[v(T) = aT(T_0 - T),\] где \(a = (2\alpha\nu R^2)/(\pi C_p p_0^2r^3) = \text{const}\).

Графическое отображение полученной зависимости — парабола, пересекающая ось абсцисс в точках \(0\) и \(T_0\). Для горячего цилиндра максимальное значение скорости достигается в начальной точке движения при \(T = T_\text{г}\) и равно по модулю \(v_\text{г}^{\max} = aT_\text{г}(T_\text{г} - T_0)\).

Для холодного цилиндра максимальное значение скорости не определяется однозначно. При \(T_\text{х} \geqslant T_0/2\) оно также достигается в начальной точке движения при \(T = T_\text{х}\) и равно \[v_\text{х}^{\max} = aT_\text{х}(T_0 - T_\text{х}).\] Если \(T_\text{х} < T_0/2\), то максимум скорости соответствует значению \(T = T_0/2\) (вершина параболы) и равен \[v_\text{х}^{\max} = aT_0^2/4.\] Приравнивая выражения для скоростей \(v_\text{г}^{\max} = v_\text{х}^{\max}\), находим искомое.

При \(T_\text{х} \geqslant T_0/2\) получим \(T_\text{г}(T_\text{г} - T_0) = T_\text{х}(T_0 - T_\text{х})\). Решаем квадратное уравнение (относительно \(T_\text{г}\)): \[T_\text{г}^2 - T_\text{г}T_0 - T_\text{х}(T_0 - T_\text{х}) = 0,\] оставляем только положительный корень. Итак: \[T_\text{г} = \frac{T_0 + \sqrt{T_0^2 + 4T_\text{х}(T_0 - T_\text{х})}}{2}.\] При \(T_\text{х} < T_0/2\) получим \(T_\text{г}(T_\text{г} - T_0) = T_0^2/4\). Решаем квадратное уравнение (относительно \(T_\text{г}\)): \[T_\text{г}^2 - T_\text{г}T_0 - T_0^2/4 = 0,\] оставляем только положительный корень. Итак: \[T_\text{г} = T_0\cdot\frac{1+\sqrt2}{2}.\] \[T_\text{г} = \begin{cases} T_0\cdot\dfrac{1+\sqrt2}{2}, & \text{если } T_\text{х} < T_0/2;\\[2ex] \dfrac{T_0 + \sqrt{T_0^2 + 4T_\text{х}(T_0 - T_\text{х})}}{2}, & \text{если } T_\text{х} \geqslant T_0/2. \end{cases}\]