Запотевший сосуд

Лёд получает тепло от воздуха и от конденсирующегося пара. Время таяния пропорционально массе конденсата, так как он образуется с постоянной скоростью. Запишите баланс для обеих комнатных температур.

Сосуд с содержимым получает тепло благодаря двум процессам: теплообмену с окружающим воздухом и конденсации воды на стенках сосуда. Количество теплоты, которое получает сосуд с его содержимым от воздуха посредством теплообмена, равно \(Q_{\text{тепл}} = \alpha\,(t_\text{к} - t_0)\,\tau\), где \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности, \(t_\text{к}\) — комнатная температура, \(t_0 = 0\,^\circ\)C, \(\tau\) — время таяния льда. Так как скорость образования конденсата в обоих случаях одинаковая и постоянна, следовательно, масса конденсата на стенках сосуда пропорциональна времени процесса: \(m = \beta\tau\), где \(\beta\) — коэффициент пропорциональности, одинаковый для обоих процессов. Стало быть, отношение времён таяния льда при комнатной температуре \(22\,^\circ\)C и при комнатной температуре \(30\,^\circ\)C равно \[\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{m_1}{m_2}.\] Запишем уравнение теплового баланса для первого и второго процессов: \[\begin{align*} \alpha\,(t_{\text{к}1} - t_0)\,\tau_1 + L m_1 &= \lambda M,\\ \alpha\,(t_{\text{к}2} - t_0)\,\tau_2 + L m_2 &= \lambda M, \end{align*}\] где \(M\) — масса растаявшего льда. Решая систему уравнений, получаем \[M = \frac{L\,m_1 m_2\,(t_{\text{к}2} - t_{\text{к}1})}{\lambda\,\bigl(m_2 (t_{\text{к}2} - t_0) - m_1 (t_{\text{к}1} - t_0)\bigr)} = 680\text{ г}.\]