Замерзающие капли

Выпишите, какая масса замерзает за малое перемещение капли по высоте, и просуммируйте по всему пути: что в этой сумме не зависит от размера капли?

Обозначим \(\Delta T(h) = t_c - t(h)\) "— разность температур капли и окружающей среды на высоте \(h\) (большая буква используется для обозначения разности температур, чтобы избежать путаницы с временем). Пусть за малое время \(\Delta t\) замерзает небольшая масса капли \(\Delta m\), тогда справедливо соотношение \[\lambda\,\Delta m = \alpha\,\Delta T(h)\,S\,\Delta t.\] Пусть скорость капли равна \(v\), тогда это соотношение можно переписать в виде \[\frac{\lambda v\,\Delta m}{\alpha S} = \Delta T(h)\,\Delta h. \tag{1}\] При суммировании выражений, стоящих в правой части формулы (8), получается величина, численно равная площади фигуры, ограниченной графиком профиля температуры, осями абсцисс и ординат. Эта площадь не зависит от размера капли и скорости её падения. Таким образом, суммарная масса, превращающаяся в лёд в процессе падения, пропорциональна площади её поверхности и обратно пропорциональна скорости падения \[m \propto \frac{S}{v} \propto \frac{R^2}{v}. \tag{2}\] Символ <<\(\propto\)>> означает пропорциональность. Скорость падения определяется из равенства силы сопротивления и силы тяжести: \[Mg = \beta S v^2 \quad\Rightarrow\quad v^2 \propto \frac{\rho V}{S} \propto R. \tag{3}\] Комбинируя соотношения (9), (10) и учитывая, что масса капли пропорциональна \(R^3\), получаем для доли замерзающей массы соотношение \[n = \frac{m}{M} \propto \frac{R^{3/2}}{R^3} \propto R^{-3/2}. \tag{4}\] Из формулы (11) следует, что доля массы большой капли, превращающаяся в лёд, равна \[n = \frac{1}{4}\cdot(2{,}25)^{-3/2} = \frac{2}{27} \approx 7{,}4\,\%.\]