Установление равновесия

Оба давления на поршень всё время равны. Подумайте, что тогда даёт первое начало термодинамики для всей системы и каким получается процесс в каждой части.

а) Запишем уравнения состояния для начального момента времени: \[p_0V_0 = \nu_1R\cdot 2T_0, \qquad p_0V_0 = \nu_2R\cdot T_0.\] Отсюда получаем, что \(\nu_2 = 2\nu_1\).

Пусть в некоторый момент времени \(t\) температура в левой части цилиндра равна \(T_1\), а в правой – \(T_2\). Согласно первому началу термодинамики \[\frac{3}{2}\nu_1R(2T_0 - T_1) = \frac{3}{2}\nu_2R(T_2 - T_0), \tag{1}\] где \(T_1\) и \(T_2\) – температуры в левой и правой частях цилиндра в момент времени \(t\) соответственно.

В конце процесса теплообмена температуры в левой и правой частях уравняются. Тогда \(2T_0 - T = 2T - 2T_0\). Откуда получаем ответ на пункт а): \(T = \dfrac{4}{3}T_0\).

б) По условию задачи тепло передаётся медленно, значит, давления на поршень с двух сторон практически равны, то есть в любой момент времени \(p_1 = p_2\). Перепишем уравнение (1), воспользовавшись уравнением состояния: \[p_0V_0 - p_1V_1 = p_2V_2 - p_0V_0 \;\Longrightarrow\; p_1 = p_2 = p_0 .\] То есть процесс теплопередачи происходит изобарически, и молярная теплоёмкость равна \(c_p = \dfrac{5}{2}R\).

Пусть за малое время \(dt\) температуры частей цилиндра изменились на величины \(dT_1\) и \(dT_2\). Тогда \[\frac{5}{2}\nu_1R\,dT_1 = \alpha(T_2 - T_1)\,dt, \qquad \frac{5}{2}\nu_2R\,dT_2 = \alpha(T_1 - T_2)\,dt \;\Longrightarrow\; \frac{dT_1}{dt} = \frac{2\alpha(T_2 - T_1)}{5\nu_1R}, \quad \frac{dT_2}{dt} = \frac{2\alpha(T_1 - T_2)}{5\nu_2R}.\] Введём обозначение \(\Delta T = T_1 - T_2\). Вычтем из первого уравнения второе: \[\frac{d\Delta T}{dt} = -\frac{2\alpha}{5R}\left(\frac{1}{\nu_1} + \frac{1}{\nu_2}\right)\Delta T = -\frac{6\alpha T_0}{5p_0V_0}\,\Delta T .\] Решая это дифференциальное уравнение, получаем: \(\Delta T = T_0 e^{-\lambda t}\), где \(\lambda = \dfrac{6\alpha T_0}{5p_0V_0}\). Значит, время, в течение которого разность температур между частями цилиндра уменьшается в \(e\) раз по сравнению с начальной разностью температур \(T_0\), равно \(\tau = \dfrac{5p_0V_0}{6\alpha T_0}\).

в) Из уравнения \(T_1 - T_2 = T_0 e^{-\lambda t}\) и уравнения (1) следует: \[T_1(t) = \frac{4}{3}T_0 + \frac{2}{3}T_0 e^{-\lambda t}, \qquad T_2(t) = \frac{4}{3}T_0 - \frac{1}{3}T_0 e^{-\lambda t}.\] Так как процесс изобарический, следовательно, \(\dfrac{V_1(t)}{T_1(t)} = \dfrac{\nu_1R}{p_0}\). Откуда получаем окончательный ответ: \[V_1(t) = \frac{\nu_1R}{p_0}\left(\frac{4}{3}T_0 + \frac{2}{3}T_0 e^{-\lambda t}\right) = \frac{2}{3}V_0 + \frac{1}{3}V_0 e^{-\lambda t}.\]