Горячо–холодно

Площадь прямоугольника \(N_\text{ср}\tau\) под точкой графика — это вся полученная к этому моменту теплота, а она однозначно задаёт температуру. Значит, у точек \(A\) и \(B\) такие прямоугольники равновелики. Мгновенная мощность — это скорость роста той же площади: \(\dfrac{d(N_\text{ср}\tau)}{d\tau}\).

Первый способ.

Для нагрева слитка серебра от начальной температуры \(t_0\) до температуры \(t\) необходимо сообщить ему суммарное количество теплоты: \[Q = cm(t - t_0).\] С другой стороны, количество теплоты \(Q\) можно выразить через среднюю мощность \(N_\text{ср}\) и время теплообмена \(\tau\): \[Q = N_\text{ср}\tau.\] По условию задачи температуры в состояниях \(A\) и \(B\) равны, следовательно, суммарное количество теплоты, сообщённое слитку в моменты времени \(\tau_A\) и \(\tau_B\), также одинаково. Это означает, что площади прямоугольников, соответствующих этим процессам на графике (см. рисунок 1), равны, так как они пропорциональны количеству теплоты. Таким образом, выполняется равенство: \[N_{A\text{ср}}\tau_A = N_{B\text{ср}}\tau_B.\] Для восстановления оси времени необходимо обеспечить равенство площадей прямоугольников с одинарной штриховкой на графике.

Второй способ. По условию задачи температуры в состояниях \(A\) и \(B\) равны, следовательно, эти точки лежат на одной гиперболе. Если две вершины прямоугольника расположены на одной гиперболе, то прямая, проходящая через две другие вершины, должна пересекать начало координат. Это следует из подобия треугольников, образованных описанной прямой и осями координат (см. рисунок 2).

Зная, что \(\tau_B - \tau_A = 2{,}2\) мин, восстановим график зависимости (рисунок 3):

Из графика известно, что \(N_{A\text{ср}} = 2\text{ Вт}\) и \(\tau_A = 1{,}8\text{ мин} = 108\text{ с}\), тогда: \[N_{A\text{ср}}\tau_A = cm(t_A - t_0) \;\Longrightarrow\; t_0 = t_A - \frac{N_{A\text{ср}}\tau_A}{cm}.\] \[t_0 = 22\,^\circ\text{C}.\] Из графика известно, что \(N_{C\text{ср}} \approx 2{,}2\text{ Вт}\), \(\tau_C = 2{,}4\text{ мин} = 144\text{ с}\), \(N_{D\text{ср}} = 2\text{ Вт}\) и \(\tau_D = 3\text{ мин} = 180\text{ с}\). Тогда: \[N_{C\text{ср}}\tau_C = cm(t_C - t_0); \qquad N_{D\text{ср}}\tau_D = cm(t_D - t_0).\] \[N_{C\text{ср}} \approx 2{,}2\text{ Вт}; \qquad N_{D\text{ср}} = 2\text{ Вт};\] \[t_C = t_0 + \frac{N_{C\text{ср}}\tau_C}{cm} \approx 48{,}4\,^\circ\text{C};\] \[t_D = t_0 + \frac{N_{D\text{ср}}\tau_D}{cm} = 52\,^\circ\text{C}.\] Получим выражение, позволяющее найти значение мгновенной мощности в произвольный момент времени. Для этого рассмотрим малый промежуток времени \(\Delta\tau \to 0\). За этот промежуток времени количество теплоты \(\Delta Q\) можно выразить через мгновенную мощность \(N_\text{мгн}\): \[\Delta Q = N_\text{мгн}\Delta\tau.\] С другой стороны, \(\Delta Q\) можно выразить через изменение площади прямоугольника на графике зависимости \(N_\text{ср}(\tau)\): \[\Delta Q = (N_\text{ср} + \Delta N_\text{ср})(\tau + \Delta\tau) - N_\text{ср}\tau = \Delta N_\text{ср}\tau + N_\text{ср}\Delta\tau + \Delta N_\text{ср}\Delta\tau.\] Пренебрегая малыми величинами второго порядка (\(\Delta N_\text{ср}\Delta\tau \approx 0\)), получаем: \[\Delta Q \approx \Delta N_\text{ср}\tau + N_\text{ср}\Delta\tau.\] Приравнивая выражения для \(\Delta Q\), находим: \[N_\text{мгн}\Delta\tau = \Delta N_\text{ср}\tau + N_\text{ср}\Delta\tau.\] Разделив на \(\Delta\tau\), получаем выражение для мгновенной мощности: \[N_\text{мгн} = \frac{\Delta N_\text{ср}}{\Delta\tau}\tau + N_\text{ср},\] где величина \(k = \dfrac{\Delta N_\text{ср}}{\Delta\tau}\) пропорциональна угловому коэффициенту касательной к графику \(N_\text{ср}(\tau)\). Аналогичное выражение можно получить, используя дифференцирование: \[N_\text{мгн} = \frac{dQ}{d\tau} = \frac{d(N_\text{ср}\tau)}{d\tau} = \frac{dN_\text{ср}}{d\tau}\tau + N_\text{ср}.\] Построим касательные к графику в точках \(C\) и \(D\) и рассчитаем их угловые коэффициенты наклона:

\[k_C = 0\text{ Вт/с}, \quad k_D = -\frac23\text{ Вт/с}.\]

Возможен другой способ решения.

Зная \(N_\text{ср}(\tau)\), построим график зависимости \(Q(\tau) = N_\text{ср}\cdot\tau\) для моментов времени \(\tau \in [0;\,4]\) мин, проведём гладкую кривую и построим касательные к графику \(Q(\tau)\) в указанные моменты времени. Угловые коэффициенты касательных будут равны мгновенной мощности: \[N_\text{мгн} = \frac{dQ}{d\tau}.\] Тогда: \[N_{C\text{мгн}} = k_C\tau_C + N_{C\text{ср}} \approx 2{,}2\text{ Вт};\] \[N_{D\text{мгн}} = k_D\tau_D + N_{D\text{ср}} = 0\text{ Вт}.\]