Вытекание жидкости из L-образной трубки

Запишите закон сохранения энергии для столба жидкости в вертикальной части трубки и продифференцируйте его по времени.

Воспользуемся законом сохранения энергии \(W_0 = W_{кин} + W_{пот} = \text{const}\). Начальная потенциальная энергия столба жидкости длины \(L\) равна кинетической энергии жидкости плюс потенциальной энергии столба жидкости длины \(x\): \[mg\,\frac{L}{2} = \frac{m\dot x^2}{2} + \frac{m}{L}\,x\,\frac{x}{2}\,g. \qquad (1)\] Так как \(\dfrac{dW_0}{dt} = 0\), то, продифференцировав выражение (1) по времени, получим \[\frac{m}{2}\cdot 2\dot x\ddot x + \frac{m}{L}\,g\,x\dot x = 0. \qquad (2)\] Учитывая, что \(\dfrac{dx}{dt} \neq 0\), получим: \[\ddot x + \frac{g}{L}\,x = 0. \qquad (3)\] Итак, вытекание жидкости удовлетворяет уравнению гармонических колебаний с периодом \[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}. \qquad (4)\] Время вытекания жидкости из наполненной вертикальной части трубки \[\tau = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}.\]