Задачи › Сила Архимеда

Знаете ли Вы законы Архимеда и Паскаля?

  1. Знаете ли Вы законы Архимеда и Паскаля?

    Белорусская 2012/13, заключительный этап, 9 кл. · №24699
    3/10PDF: условиес решением

    Вопрос 0. Запишите формулу для силы Архимеда, все обозначения расшифруйте.

    Далее задача состоит из 5 несвязанных между собой вопросов. Это не тест! Все ответы необходимо обосновать рассуждениями, формулами, расчетами!

    Рисунок

    1.1 На поверхности воды плавает тонкостенный шар. Сила Архимеда, действующая на шар по модулю равна \(F_0\). К шару прикрепляют небольшой груз, масса которого равна массе шара, а объем значительно меньше объема шара. Чему равна сила Архимеда \(F_1\), действующая на шар в этом случае? Шар не утонул.

    Рисунок

    1.2 Шар радиуса \(R\) плавает в воздухе на небольшой высоте над поверхностью земли. Во сколько раз увеличится модуль силы давления воздуха на шар, если его радиус увеличить в два раза и при этом он останется в воздухе примерно на той же высоте?

    1.3 В вертикальном цилиндрическом сосуде находится вода. Высота уровня воды равна \(h_0\). В сосуд опускают шарик, масса которого в два раза меньше массы воды в сосуде. До какой высоты \(h_1\) поднимется уровень воды в сосуде сразу после опускания шара, при условии, что шарик остается на плаву?

    Рисунок

    1.4 Закрытый вертикальный цилиндрический сосуд полностью заполнен водой. Непосредственно у дна сосуда находится небольшой пузырек воздуха. Давление воды на верхнюю крышку в 3 раза меньше давления жидкости на дно. Во сколько раз изменится давление жидкости на дно сосуда \(\frac{P_1}{P_0}\), когда пузырек всплывет. Температура воды в сосуде не изменяется.

    Рисунок

    1.5 В широком вертикальном цилиндрическом сосуде находится жидкость плотности \(\rho_1\), в которой вертикально плавает тонкий цилиндрический стержень. При этом стержень на \(\frac{2}{3}\) своей длины оказывается погруженным в жидкость. Затем сверху в сосуд начинают доливать другую жидкость (плотности \(\rho_2\)), которая не смешивается с первой жидкостью. Когда высота слоя этой жидкости стала равна половине длине стержня, стержень оказался погруженным в первую жидкость на половину своей длины, а верхняя его

    половина также оказалась погруженной во вторую жидкость. Определите отношение плотностей жидкостей \(\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}\).

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Сила Архимеда — это равнодействующая сил давления жидкости (газа) на тело; для плавающего тела она уравновешивает силу тяжести, а давление на дно сосуда определяется весом содержимого.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1.1) \(F_1=2F_0\); 1.2) в 8 раз; 1.3) \(h_1=1{,}5\,h_0\); 1.4) \(P_1/P_0=5/3\); 1.5) \(\rho_2/\rho_1=1/3\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    1.1 Так как масса системы увеличилась в два раза, то во столько же раз увеличилась сила тяжести и уравновешивающая ее сила Архимеда. Поэтому \(F_1 = 2F_0\).

    1.2 Сумма сил (очевидно, векторная) давлений жидкости или газа на поверхность погруженного тела есть сила Архимеда. Так как объем шара увеличится в 8 раз, то и сила Архимеда, следовательно, и сила давления воздуха на шар увеличится в 8 раз.

    1.3 Масса содержимого в сосуде увеличилась в \(1{,}5\) раза, во столько же раз возросла и сила тяжести. Сила тяжести уравновешивается силой давления на дно, которая пропорциональна высоте уровня жидкости в сосуде. Следовательно, уровень воды в сосуде возрастет в \(1{,}5\) раза: \(h_1 = 1{,}5h_0\).

    1.4 Давление жидкости на дно равно сумме давлений жидкости на верхнюю крышку \(P'_0\) и гидростатического давления \(p = \rho g h\). Так как давление на крышку в 3 раза меньше давления на дно, то справедливо соотношение

    \[P_0 = P'_0 + p = \frac{1}{3}P_0 + p,\tag{1}\]

    из которого следует, что

    \[P_0 = \frac{3}{2}p.\tag{2}\]

    Такое же давление воздуха внутри пузырька. Так сжимаемостью жидкости можно пренебречь, то при всплытии пузырька ее объем, а, следовательно, и объем пузырька не изменятся. Воздух хорошо сжимаем, поэтому, если не изменился его объем, то не изменилось и давление внутри него. Поэтому после всплытия пузырька давление на крышку сосуда стало равным

    \[P'_1 = P_0 = \frac{3}{2}p.\tag{3}\]

    А давление на дно больше на гидростатическое давление, поэтому

    \[P_1 = \frac{3}{2}p + p = \frac{5}{2}p.\tag{4}\]

    Следовательно, отношение давлений

    \[\frac{P_1}{P_0} = \frac{5}{3}.\tag{5}\]

    1.5 В любом случае, когда стержень плавает, сила Архимеда уравновешивает силу тяжести. Так как сила тяжести не изменилась, то осталась неизменной и сила Архимеда. Это позволяет записать уравнение

    \[\frac{2}{3}\rho_1 g V = \frac{1}{2}\rho_1 g V + \frac{1}{2}\rho_2 g V,\tag{6}\]

    из которого следует, что

    \[\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{3},\tag{7}\]

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх